Đáp án + Giải thích các bước giải:

`a)` Xét `ΔBDC` và `ΔCEB` có:

        $\widehat{BDC}$ = $\widehat{CEB}$ `= 90^0`

        `BC` chung

        $\widehat{ABC}$ = $\widehat{BCA}$ `(ΔABC` cân tại `A`)

Do đó: `ΔBDC` = `ΔCEB` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> BD = CE` (hai cạnh tương ứng)

$\\$

`b)` Xét `ΔACE` và `ΔABD` có:
      $\widehat{AEC}$ = $\widehat{ADB}$ (`=90^0`)

      `AB = AC` (gt)

      `A` là góc chung

Do đó: `ΔACE = ΔABD` (`g - c - g`)

`⇒` $\widehat{ABD}$ = $\widehat{ACE}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (`ΔABC` cân) 

`⇒` $\widehat{DBC}$ = $\widehat{ECB}$ hay $\widehat{HBC}$ = $\widehat{HCB}$

`⇒ ΔHBC` cân (đpcm)

$\\$

`c)` Xét `ΔHDC` và `ΔHEB` có:

      $\widehat{HDC}$ = $\widehat{HEB}$ (gt)

      `BE = DC` (`ΔBDC` = `ΔCEB`)

      $\widehat{EBH}$ = $\widehat{DCH}$ (chứng minh câu b)

Do đó: `ΔHDC = ΔHEB` (`g - c - g`)

- Xét `ΔAEH` và `ΔADH` có:
      `HD = EH` (chứng minh trên)

      $\widehat{AEH}$ = $\widehat{ADH}$ `= 90^0`

      `AH` là cạnh chung

Do đó: `ΔAEH = ΔADH` (`c - g - c`)

⇒ $\widehat{EAH}$ = $\widehat{DAH}$ (hai góc tương ứng)

- Gọi `M` là giao điểm của `AH` và `BC`

- Xét `ΔAMB` và `ΔAMC` có: 

       `AB = AC` (gt)

       $\widehat{EAH}$ = $\widehat{DAH}$ (cmt)

        `AH` là cạnh chung

Do đó: `ΔAMB = ΔAMC` (`c - g - c`)

`⇒` $\widehat{AMB}$ = $\widehat{AMC}$

Mà $\widehat{AMB}$ + $\widehat{AMC}$ = `180^0` (kề bù)

`⇒` $\widehat{AMB}$ = $\widehat{AMC}$ = `(180^0)/2 = 90^0`

`⇒ AH ⊥ BC` `(1)`

Ta có: `ΔAMB = ΔAMC` (cmt)

`⇒ BM = MC` (`2`)

Từ (`1`) và (`2`) suy ra:
`AH` là đường trung trực của `BC` (đpcm)

$\\$

`d)` Ta có: $\widehat{ADH}$ = $\widehat{KDC}$ (đối đỉnh)

Mà $\widehat{ADH}$ = $\widehat{HDC}$ `= 90^0`

`=>` $\widehat{ADH}$ = $\widehat{KDC}$

Xét `ΔBDC` và `ΔKDC` có:
      `BD = DK` (gt)

       $\widehat{ADH}$ = $\widehat{KDC}$ (chứng minh trên)

       `DC` là cạnh chung

Do đó: `ΔBDC = ΔKDC` (`c - g - c`)

`⇒` $\widehat{DBC}$ = $\widehat{DKC}$ (hai cạnh tưởng ứng)
Mà $\widehat{HBC}$ = $\widehat{HCB}$ (chứng minh câu b)

`⇒` $\widehat{HCB}$ = $\widehat{DKC}$ Hay $\widehat{ECB}$ = $\widehat{DKC}$