Đáp án:

$579\,cm^2$.

Giải thích các bước giải:

Vì AB = $\dfrac23$ CD nên diện tích hình tam giác ABD = $\dfrac23$ diện tích hình tam giác BCD và = $\dfrac25$ diện tích hình tam thang ABCD (có chung chiều cao).

Ta thấy hình tam giác ABD và BCD có chung cạnh AC và diện tích ABD = $\dfrac23$ diện tích BCD nên chiều cao hình tam giác BCD. 

Vì AI và CI cùng tỉ lệ với chiều cao hai hình tam giác nên AI = $\dfrac23$ CI.

Ta thấy tam giác ABC và ABD có chung đáy AB và cùng chiều cao hạ từ A và B nên diện tích hình tam giác ABC = diện tích hình tam giác ABD.

Vì AI = $\dfrac23$ CI (= $\dfrac25$ AC) nên diện tích hình tam giác AIB = $\dfrac25$ diện tích hình tam giác ABC hay = $\dfrac25$ diện tích hình tam giác ABD.

Vì diện tích hình tam giác ABD = $\dfrac25$ diện tích hình thang ABCD nên diện tích hình tam giác AIB = $\dfrac25\!\times\!\dfrac25=\dfrac4{15}$ diện tích hình thang ABCD (1).

Ta có chứng minh trên diện tích ABD = diện tích ABC nên diện tích ACD = diện tích BCD.

Vì AI = $\dfrac25$ AC (chứng minh trên) nên CI = $\dfrac35$ AC. Vậy diện tích hình tam giác CID = $\dfrac35$ diện tích hình tam giác ACD.

Vì diện tích ABD = $\dfrac25$ diện tích hình thang ABCD nên diện tích BCD = $\dfrac35$ diện tích hình thang ABCD hay diện tích hình tam giác ACD = $\dfrac35$ diện tích hình thang ABCD.

Vậy diện tích hình tam giác CID = $\dfrac35\!\times\!\dfrac35=\dfrac9{15}$ diện tích hình thang ABCD (2).

Từ (1) và (2) ta có tỉ số diện tích hình tam giác AIB và CID là $\dfrac4{15}:\dfrac9{15}=\dfrac49$.

AIB: |$\!$------$\!$|$\!$------$\!$|$\!$------$\!$|$\!$------$\!$|           Hiệu: 193 $cm^2$.

CID: |$\!$------$\!$|$\!$------$\!$|$\!$------$\!$|$\!$------$\!$|$\!$------$\!$|$\!$------$\!$|$\!$-----$\!$|$\!$------$\!$|$\!$------$\!$|

Hiệu số phần bằng nhau là:

         $9-4=5$ (phần).

Giá trị mỗi phần là:

         $193:5=38,6$ ($cm^2$).

Diện tích hình tam giác CID là:

         $38,6\times9=347,4$ ($cm^2$).

Vì diện tích hình tam giác CID = $\dfrac9{15}$ diện tích hình thang ABCD nên:

Diện tích hình thang ABCD là:

         $347,4:\dfrac9{15}=579$ ($cm^2$).

                    Đáp số: $579\,cm^2$.