1,

Xét $\Delta AMC$ và $\Delta EMB$ có:

$\bullet \widehat{AMC}=\widehat{EMB}$(Đối đỉnh)

$\bullet BM=CM$($M$ là trung điểm $BC$)

$\bullet AM=EM$(Giả thiết)

$\to\Delta AMC=\Delta EMB$(Cạnh-góc-cạnh)

$\to \begin{cases} AC=EB\\\widehat{MAC}=\widehat{MEB}\end{cases}$(2 cạnh, 2 góc tương ứng)

Ta có: $\widehat{MAC}=\widehat{MEB}$(Chứng minh trên)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong.

$\to AC//BE$

2,

Ta có: $\widehat{MAC}=\widehat{MEB}$(Chứng minh trên)

Hay $\widehat{MAI}=\widehat{MEK}$

Xét $\Delta MAI$ và $\Delta MEK$ có:

$\bullet AI=EK$(Giả thiết)

$\bullet AM=ME$(Giả thiết)

$\bullet \widehat{MAI}=\widehat{MEK}$(Chứng minh trên)

$\to\Delta MAI=\Delta MEK$(Cạnh-góc-cạnh)

$\to \widehat{AMI}=\widehat{EMK}$(2 góc tương ứng)

$\to I,M,K$ thẳng hàng.

3,

Ta có: $\widehat{HBE}=50^o$ hay $\widehat{MBE}=50^o$

Lại có: $\widehat{EMH}=\widehat{MBE}+\widehat{MEB}$(Tính chất góc ngoài của $\Delta$)

$\to \widehat{EMH}=50^o +25^o=75^o$

Mà $\widehat{EMH}+\widehat{HEM}=90^o$(2 góc phụ nhau)

$\to \widehat{HEM}=90^o - 75^o=15^o$

Ta có: $\widehat{HME}+\widehat{BME}=180^o$(2 góc kề bù)

$\to \widehat{BME}=180^o - 75^o=105^o$

4,

Áp dụng định lí Pytago ta được:

$\begin{cases} AN^2=AO^2-ON^2\\CN^2=OC^2-ON^2 \end{cases}\\\to CN^2-AN^2=OC^2-OA^2$

Chứng minh tương tự ta có:

$\begin{cases} AP^2-BP^2=OA^2-OB^2\\BQ^2-CQ^2=OB^2-OC^2 \end{cases}\\\to CN^2-AN^2 + AP^2-BP^2 +BQ^2-CQ^2=0\\\to AN^2+BP^2 +CQ^2=AP^2 +BQ^2+CN^2\\\to  \dfrac{AN^2+BP^2+CQ^2}{AP^2+BQ^2+CN^2}=1$