Giải thích các bước giải:

1.Ta có $HM\perp AB,HN\perp AC, AB\perp AC$

$\to AMHN$ là hình chữ nhật

2.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A, O$ là trung điểm $BC$

$\to OA=OB=OC=\dfrac12BC$

$\to\Delta OAC$ cân tại $O$

Gọi $AO\cap MN=D$

Do $AMHN$ là hình chữ nhật $\to \widehat{MAH}=\widehat{AMN}$

$\to\widehat{DAN}=\widehat{OAC}=\widehat{OCA}=\widehat{HCA}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{BAH}=\widehat{MAH}=\widehat{AMN}$

$\to\widehat{DAN}+\widehat{DNA}=\widehat{AMN}+\widehat{ANM}=90^o$

$\to \Delta ADN$ vuông tại $D$

$\to AD\perp MN$

$\to AO\perp MN$

3.Ta có: $HN\perp AC\to HN//AB$ vì $AB\perp AC$

$\to PN//BM$

Mà $AO\perp MN=D$

$\to\widehat{HPO}=\widehat{DPN}=90^o-\widehat{DNP}=\widehat{AND}=\widehat{ANM}=\widehat{HAN}=90^o-\widehat{BAH}=\widehat{ABH}=\widehat{ABO}$

Mà $\widehat{POH}=\widehat{AOB}$

$\to\Delta OHP\sim\Delta OAB(g.g)$

$\to\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{OP}{OB}$

$\to\dfrac{OH}{OP}=\dfrac{OA}{OB}$

Lại có $\widehat{HOA}=\widehat{POB}$

$\to\Delta OHA\sim\Delta OPB(c.g.c)$

$\to \widehat{AHO}=\widehat{OPB}$

$\to\widehat{OPB}=90^o$ vì $AH\perp BC$

$\to BP\perp AO$

Mà $AO\perp MN\to BP//MN$

Do $BM//NP$

$\to BMNP$ là hình bình hành

4.Ta có $AMHN$ là hình chữ nhật, $AH\cap MN=I$

$\to I$ là trung điểm $AH,MN\to IA=IH=IM=IN$

Lại có $MN\perp AO\to ID\perp AO$

Gọi $AK\cap BC=E$

Vì $A,K$ đối xứng qua $OI$

$\to OI\perp AK$

$\to OI\perp AE$

Lại có $AH\perp BC\to AH\perp EO$

          $OI\cap AH=I$

$\to I$ là trực tâm $\Delta AEO$

$\to EI\perp AO$

Vì $ID\perp AO\to E,I,D$ thẳng hàng

$\to E\in ID$

$\to E\in MN$

$\to AK, MN,BC$ đồng quy tại $E$