Đề bài phải là điểm $F$ là trung điểm của $DC$ mới đúng nhé

Bài làm:

a) Xét tứ giác $AEFD$ có:

$AE//=DF$ $(=\dfrac{AB}2=\dfrac{DC}{2})$

$\Rightarrow AEFD$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Lại có $AE=AD=\dfrac{AB}{2}$ nên

tứ giác $AEFD$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)

b) $\widehat{HAE}=\widehat{ADF}=60^o$ (hai góc ở vị trí đồng vị)

$\Delta AHE$ có $AH=AE(=AD)$

$\Rightarrow \Delta AHE$ đều

$\Rightarrow\widehat{EHA}=60^o=\widehat{FDA}$

Mà tứ giác $HDFE$ có $EF//AD$ (do tứ giác $AEFD$ là hình thoi)

Nên tứ giác $HDFE$ là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết)

c) $\Delta AHB$ có $HE=AE=EB=\dfrac{AB}2$

Tam giác vuông có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng $\dfrac12$ cạnh huyền

$\Rightarrow\Delta AHB\bot H\Rightarrow \widehat{AHB}=90^o$

Tứ giác $AHBC$ có $AH//=CB\Rightarrow AHBC$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Từ hai điều trên suy ra $AHBC$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

d) Tứ giác $AHBC$ là hình chữ nhật có $AB=8cm$ và $AH=AD=\dfrac{AB}{2}=4cm$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta HAB\bot H:$

$HB^2=AB^2-AH^2=8^2-4^2=48$

$\Rightarrow HB=4\sqrt3$cm

$\Rightarrow S_{AHBC}=AH.HB=16\sqrt3cm^2$