Đáp án+ Giải thích các bước giải:

`a,` Ta có: `\hat{ACB} = 90^o`( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

                    `\hat{BDA} = 90^o`(góc nộ tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác $ECFD$ có:

`\hat{ECF} = 90^o`(cùng kề với `\hat{ACB}`)

`\hat{EDF} = 90^o`(cùng kề với `\hat{BDA}`)

`-> \hat{ECF} + \hat{EDF} = 180^o`

`->` Tứ giác $ECFD$ nội tiếp đường tròn (dhnb)

Gọi $I$ là trung điểm `EF`

Xét `\triangle CEF` có: `\hat{FCE} = 90^o`

`-> CI` là đường trung tuyến `EF => CI = EI = IF (1)`

Xét `\triangle EDF` có: `\hat{EDF} = 90^o`

`-> DI` là đường trung tuyến `EF => DI = IE = IF (2)`

Từ (1) và (2) `=> IE = IC = IF = ID -> I` là tâm đường tron ngoại tiếp tứ giác $ECFD$
`b,`Ta có: `\hat{AEF} = \hat{CDF} = 1/2`$\mathop{CF}\limits^{\displaystyle\frown}$ ( tứ giác $ECFD$ nội tiếp đường tròn)

 Mà: `\hat{CDF} = \hat{CBA} = 1/2 sđ`$\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$ (góc nội tiếp)

Gọi $H$ là giao điểm `EF` và `AB`

Ta có: `\hat{AEF} = \hat{ABC}`(cmt)

`-> tg  CHBE` nội tiếp đường tròn (dhnb)

`-> \hat{EHB} = \hat{BCE} = 90^o`(hai góc cùng chắn $\mathop{EB}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`-> EF⊥ AB`

`c,` Ta có: $\mathop{CD}\limits^{\displaystyle\frown}$ `= 60^o`

`-> \hat{CAD} = 1/2 sđ`$\mathop{CD}\limits^{\displaystyle\frown}$ `= 30^o`

( góc nội tiếp bằng nửa số đo cung)

Xét `\triangle ADE    có: \hat{ADE} = 90^o`(kề bù `\hat{BDA}`)

`=>  tan 30^o = {ED}/{AD} => ED = tan30^o  . 5 = {5\sqrt{3}}/3 cm`

`\triangle ADE` có: `\hat{EDA} = 90^o`

`=> S_{\triangle ADE} = 1/2 . AD . ED = 1/2 . 5 . {5\sqrt{3}}/3 = {25\sqrt{3}}/6 cm^2`
Vậy: `S_{\triangle ADE} = {25\sqrt{3}}/6 cm^2`