Giải thích các bước giải:

a) `ΔABK` có đường cao `AD` và `BE`

`=> AD⊥KB; BE⊥KA`

Xét `ΔAKD` và `ΔBKE` có:

`\hat{KDA}=\hat{KEB}=90^0 (AD⊥KB;BE⊥KA)`

`KA=KB (ΔABK` cân tại `K)`

`\hat{K}`: góc chung

`=> ΔAKD=ΔBKE` (cạnh huyền-góc nhọn)

`=> KD=KE => ΔKED` cân tại `K`

`=> \hat{KED}=\hat{KDE}=\frac{180^0-\hat{K}}{2}`

`ΔABK` cân tại `K => \hat{KAB}=\hat{KBA}=\frac{180^0-\hat{K}}{2}`

`=> \hat{KED}=\hat{KAB}`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của `DE` và `AB =>` $DE//AB$

b) Xét `ΔKEB` và `ΔKAC` có:

`\hat{KEB}=\hat{KAC}=90^0 (BE⊥KA;AC⊥AK)`

`\hat{K}`: góc chung

`=>` $ΔKEB\backsimΔKAC$ (g.g) 

`=> \frac{KE}{KA}=\frac{KB}{KC} => KA.KB=KE.KC`

mà `KA=KB (ΔABK` cân tại `K) => KB^2=KE.KC`

c) `ΔAKD=ΔBKE => \hat{KAD}=\hat{KBE}`

mà `\hat{KAD}+\hat{DAB}=\hat{KAB}`

       `\hat{KBE}+\hat{EBA}=\hat{KBA}`

       `\hat{KAB}=\hat{KBA}`

`=> \hat{DAB}=\hat{EBA}`  (1) 

`BE⊥AK; AC⊥AK =>` $BE//AC$

`=> \hat{EBA}=\hat{BAC}` (so le trong)   (2)

Từ (1) (2) `=> \hat{DAB}=\hat{BAC}`

`=> AB` là phân giác của `\hat{DAC}`

`=> AB` là đường phân giác của `ΔDAC`

d) Xét `ΔKAC` có: $EB//AC$

`=> \frac{KE}{KA}=\frac{EB}{AC}` (hệ quả định lý ta lét)

Xét `ΔDAC` có `AB` là đường phân giác

`=> \frac{DA}{AC}=\frac{BD}{BC}` (tính chất đường phân giác trong `Δ`)

mà `AD=EB (ΔAKD=ΔBKE) => \frac{BE}{AC}=\frac{BD}{BC}`

Ta có: `\frac{KE}{KA}=\frac{EB}{AC}; \frac{BE}{AC}=\frac{BD}{BC}`

`=> \frac{KE}{KA}=\frac{BD}{BC} => BD.KA=BC.KE`