Giải thích các bước giải:

a.Vì $M$ là trung điểm $BC\to OM\perp BC$

Ta có: $AD\perp BC\to AD//OM$

b.Ta có: $OM//AD\to OM//AH$

               $O$ là trung điểm $AK$

$\to OM$ là đường trung bình $\Delta AHK$

$\to M$ là trung điểm $HK$

Mà $M$ là trung điểm $BC$
$\to BHCK$ là hình bình hành

$\to BH//CK, BK//CH$

Do $AK$ là đường kính của $(O)\to AB\perp BK, AC\perp CK$

$\to BH\perp AC, CH\perp AB$

$\to \widehat{HEC}=\widehat{HDC}=90^o$

$\to CDHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $HC$

c.Ta có: $EI\perp AK$

$\to \widehat{AEI}=90^o-\widehat{KAC}=\widehat{AKC}=\widehat{ABC}=\widehat{IBC}$

$\to BCEI$ nội tiếp

$\to \widehat{BIC}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to BI\perp AB$

Do $CH\perp AB$

$\to C, H, I$ thẳng hàng

d.Xét $\Delta SBI,\Delta SEC$ có:

Chung $\hat S$

$\widehat{SBI}=\widehat{SEC}$ vì $BCEI$ nội tiếp

$\to \Delta SBI\sim\Delta SEC(g.g)$

$\to \dfrac{SB}{SE}=\dfrac{SI}{SC}$

$\to SB\cdot SC=SE\cdot SI$

Ta có: $\widehat{HIB}=\widehat{HDB}=90^o\to HIBD$ nội tiếp

Vì $\Delta BEC$ vuông tại $E, M$ là trung điểm $BC$

$\to ME=MB=MC=\dfrac12BC$

$\to \Delta MEC,\Delta MBE$ cân tại $M$

$\to \widehat{EMC}=2\widehat{EBM}=2\widehat{EBC}=2\widehat{EIC}=\widehat{EIC}+\widehat{EIC}=\widehat{EIC}+\widehat{EBC}=\widehat{EIC}+\widehat{HBD}=\widehat{EIC}+\widehat{HID}=\widehat{EID}$

$\to IEMD$ nội tiếp

$\to \widehat{SID}=\widehat{SME},\widehat{SDI}=\widehat{SEM}$

$\to \Delta SID\sim\Delta SME(g.g)$

$\to \dfrac{SI}{SM}=\dfrac{SD}{SE}$

$\to SI\cdot SE=SM\cdot SD$

$\to SM\cdot SD=SB\cdot SC(=SI\cdot SE)$