Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB\perp AC, HE\perp AB,HF\perp AC$

$\to AEHF$ là hình chữ nhật

b.Ta có $\Delta BEH$ vuông tại $E, M$ là trung điểm $BH$

$\to ME=MB=MH$

$\to \widehat{MEH}=\widehat{MHE}=90^o-\widehat{AHE}=\widehat{EAH}=\widehat{AEF}$ vì $AEHF$ là hình chữ nhật

$\to\widehat{MEF}=\widehat{MEH}+\widehat{HEF}=\widehat{AEF}+\widehat{HEF}=\widehat{AEH}=90^o$

c.Chứng minh tương tự câu b

$\to \widehat{EFN}=90^o$

$\to FN\perp EF, ME\perp EF$ vì $\widehat{MEF}=90^o$

$\to MEFN$ là hình thang vuông tại $E,F$

d.Vì $M,N$ là trung điểm $HB,HC$

$\to MN=MH+HN=\dfrac12HB+\dfrac12HC=\dfrac12(HB+HC)=\dfrac12BC$

Kẻ $MK\perp FN=K\to MK\le MN$

Mà $\widehat{MEF}=\widehat{MFK}=\widehat{FKM}=90^o$

$\to MEFK$ là hình chữ nhật

$\to EF=MK$

$\to EF\le MN$

Dấu = xảy ra khi  $MK=MN\to MN\perp FN\to EFNM$ là hình chữ nhật

$\to FN\perp HC\to \Delta FHC$ vuông cân tại $F\to\widehat{FCH}=45^o$

$\to\widehat{ACB}=45^o$

$\to\Delta ABC$ vuông cân tại $A$