Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a,$ $E$ đối xứng với $H$ qua $D$ 

$⇒$ $D$ là trung điểm của $EH$

Xét tứ giác $AECH$ có :

$D$ là trung điểm của $EH$

$D$ là trung điểm của $AC$

$⇒$ $AECH$ là hình bình hành

Lại có : $AH$ là đường cao của $ΔABC$

$⇒$ $\widehat{AHC}=90^{o}$

$⇒$ $AECH$ là hình chữ nhật

$b,$ Vì $AECH$ là hình chữ nhật:

$⇒$ $AE//CH$

$⇒$ $AE//BH(H∈BC)$

Xét $ΔABC$ cân tại $A$ : $AH$ là đường cao

$⇒$ $AH$ là đường trung tuyến 

$⇒$ $H$ là trung điểm $BC$

$⇒$ $CH=BH$ $(1)$

Lại có : $AECH$ là hình chữ nhật $⇒$ $AE=CH$ $(2)$

Từ $(1),(2)$: $AE=BH$

Xét tứ giác $AEHB$ có:

$AE=BH,AE//BH$

$⇒$ $AEBH$ là hình bình hành

Tứ giác $AEBH$ có : $BE,AH$ là hai đường chéo mà $O$ là trung điểm của $AH$

$⇒$ $O$ là trung điểm của $BE$

$⇒$ $B,O,E$ thẳng hàng

$c,$  Xét $ΔBKC$ có :

$N$ là trung điểm của $KC$

$M$ là trung điểm của $KB$

$⇒$ $NM$ là đường trung bình $ΔBKC$

$⇒$ $NM//BC , NM=\dfrac{1}{2}BC$

Từ phần $b$ ta đã có : $AE//BC$

Mà $AE=CH$

$⇒$ $AE=\dfrac{1}{2}BC$

Lại có : $NM//BC , NM=\dfrac{1}{2}BC$

$⇒$ $AE//NM,AE=NM=\dfrac{1}{2}BC$

$⇒$ $AENM$ là hình bình hành