Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Lời giải

a)

Xét ΔAHD có :

M,N lần lượt là trung điểm của AH và DH ( giả thiết )

→ MN là đường trung bình của ΔAHD

→ MN // AD và MN = $\frac{1}{2}$ AD

b)

Vì ABCD là hình chữ nhật ( giả thiết )

→ AD = CB (1) và AD // CB

Vì I là trung điểm BC ( giả thiết )

→ IB = IC = $\frac{1}{2}$ BC (2)

 Mà MN = $\frac{1}{2}$ AD (3)

 Từ (1) (2) (3) suy ra : IB = MN

 Có : AB // AB ( chứng minh trên ) → AD // IB

Mà MN // AD ( chứng minh trên )

⇒ MN // BI

 Xét tứ giác MNIB có : 

MN // IB ( chứng minh trên )

MN = IB ( chứng minh trên )

→ Tứ giác MNIB  là hình bình hành

c)

Ta có : AD ⊥ AB

Mà AD // MN

→ MN ⊥ AB

→ M là trực tâm

→ BM ⊥ AN

 Mà BM // NI

→ AN ⊥ NI

⇒ ΔANI vuông tại N

a) Xét $∆AHD$ có:

$AM = MH =\dfrac12AH\quad (gt)$

$DN = NH =\dfrac12D\quad (gt)$

$\to MN$ là đường trung bình

$\to MN//AD$

b) Ta có:

$MN$ là đường trung bình của $∆ADH$ (câu a)

$\to MN//AD;\,MN=\dfrac12AD$

Ta lại có:

$BI = IC =\dfrac12BC\quad $

$BC//AD;\, BC = AD\quad (gt)$

Do đó: $MN//BI;\, MN = BI =\dfrac12AD$

$\to BMNI$ là hình bình hành

c) Xét $∆AHB$ có:

$MN\perp AB\quad (AD\perp AB)$

$AH\perp NB\quad (AH\perp BD)$

$M\in MN;\, M\in AH$

$\to M$ là trực tâm của $∆AHB$

$\to BM\perp AI$

Ta lại có:

$BM//NI\quad (BMNI$ là hình bình hành)

$\to NI\perp AI$

$\to ∆AIN$ vuông tại $I$