Đáp án:

$2+2^2+2^3+2^4+....+2^{60} \vdots 105$

Giải thích các bước giải:

 $2+2^2+2^3+2^4+....+2^{60}$

$\text{từ} 2+2^2+2^3+2^4+....+2^{60} \text{có số số hạng là}$

$(60-1):1+1=60(số)$

$\text{vì dãy số trên có 60 số nên ta ghép 12 số vào 1 cặp ta có}$

$2+2^2+2^3+2^4+....+2^{60}$

$=(2+2^2+....+2^{12})+........+(2^{49}+2^{50}+......2^{60})$

$=(2+2^2+....+2^{12})+........+2^{48}(2+2^2+....+2^{12})$

$=(2+2^2+.......+2^{12})(1+2^{12}+2^{24}+2^{36}+2^{48})$

$=8190.(1+2^{12}+2^{24}+2^{36}+2^{48})$

$=105.78(1+2^{12}+2^{24}+2^{36}+2^{48}) \vdots 105$

$\text{hay} 2+2^2+2^3+2^4+....+2^{60} \vdots 105(ĐPCM)$

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Có 2+2²+...+$2^{60}$ 

= (2+2²)+...+($2^{59}$+$2^{60}$)

= 2(1+2)+...+$2^{59}$(1+2)

= 2.3+...+$2^{59}$.3

= 3(2+...+$2^{59}$) ⇒ Tích trên chia hết cho 3 (1)

Lại có 2+2²+2³...+$2^{60}$ 

= (2+2²+2³)+...+($2^{58}$+$2^{59}$+$2^{60}$)

= 2(1+2+2²)+...+ $2^{58}$(1+2+2²)

= 2.7+...+$2^{58}$.7

= 7(2+...+$2^{58}$) ⇒ Tích trên chia hết cho 7 (2)

Ta thấy 2+2²+2³+$2^{4}$+...+$2^{60}$

= (2+2²+2³+$2^{4}$)+...+($2^{57}$+$2^{58}$+$2^{59}$+$2^{60}$)

= 2.15+...+$2^{57}$.15

= (2+...$2^{57}$).15 ⇒ Tích trên chia hết cho 15 (3)

Từ (1),(2) và (3) ta thấy (7,3,15)=1

⇒ Tích trên chia hết cho 7.3.15 ⇒ Tích trên chia hết cho 105 ⇒ ĐPCM