Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1) Chứng minh rằng: ΔMENΔMEN vuông tại E. Từ đó chứng minh DE.DM=DN2DE.DM=DN2

Do ΔMENΔMEN nội tiếp nửa đường tròn (O)(O) có cạnh MN là đường kính.

ΔMENΔMEN vuông tại E (định lý) ⇒NE⊥ME⇒NE⊥ME hay NE⊥MDNE⊥MD

Xét ΔMNDΔMND vuông tại N (ND là tiếp tuyến của (O)(O) tại N) có đường cao NE (NE⊥MDNE⊥MD)

⇒⇒ DE.DM=DN2DE.DM=DN2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

2) Từ O kẻ OI vuông góc với ME (I∈MEI∈ME).

Chứng minh rẳng: 4 điểm O; I; D; N cùng thuộc một đường tròn.

Xét nửa đường tròn (O)(O) có OI⊥MEOI⊥ME (gt) ⇒∠OID=90o⇒∠OID=90o

⇒⇒ΔOIDΔOID vuông tại I ⇒ΔOID⇒ΔOID nội tiếp nửa đường tròn đường kính OD  (định lý)  (1)

Có ND là tiếp tuyến của (O)(O) tại N ⇒∠OND=90o⇒∠OND=90o (tính chất tiếp tuyến)

⇒⇒ΔONDΔOND vuông tại N ⇒⇒ ΔONDΔOND nội tiếp nửa đường tròn đường kính OD (định lý)  (2)

Từ (1) và (2) ⇒⇒ 4 điểm O; I; D; N cùng thuộc đường tròn đường kính OD.

3) Vẽ đường tròn đường kính OD, cắt nửa đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là A. Chứng minh rằng: DA là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O.

Do ΔOADΔOAD nội tiếp nửa đường tròn đường kính OD

⇒ΔOAD⇒ΔOAD vuông tại A ⇒OA⊥DA⇒OA⊥DA mà A thuộc nửa đường tròn tâm O (gt)

⇒⇒ DA là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O (dhnb tiếp tuyến). (đpcm)

4) Chứng minh rằng: ∠DEA=∠DAM∠DEA=∠DAM

Ta có DA là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O (cmt)

DN là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O (gt)

⇒DA=DN⇒DA=DN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒DA2=DN2=DE.DM(cmt)⇒DADE=DMDA⇒DA2=DN2=DE.DM(cmt)⇒DADE=DMDA

Xét ΔADMΔADM và ΔEDAΔEDA có: ∠D∠D chung; DADE=DMDA(cmt)DADE=DMDA(cmt)

⇒ΔADM∼ΔEDA(g−c−g)⇒∠DEA=∠DAM⇒ΔADM∼ΔEDA(g−c−g)⇒∠DEA=∠DAM (2 góc tương ứng) (đpcm).