Đáp án+Giải thích các bước giải:

 a)Xét ΔABC có hai đường cao BD và CE⇒$\left \{ {{BD⊥AC tại D} \atop {CE ⊥AB tại E}} \right.$ 

lại có$\left \{ {{CK⊥AC tại C} \atop {BK⊥AB tạiB}} \right.$ 

⇒$\left \{ {{BH//CK} \atop {HC//BK}} \right.$ 

⇒Tứ giác BHCK là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết)

b)Vì tứ giác BHCK là hình bình hành

⇒2 đường chéo HK và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà I là trung điểm của BC 

⇒I là trung điểm của HK

XétΔAHK có I là trung điểm của HK ,O là trung điểm của AK

⇒IO là đường trung bình trong ΔAHK

⇒IO=$\frac{AH}{2}$ (TÍnh chất )hay AH=2OI

c)Vì MK //BC nên tứ giác BCKM là hình thang

Gọi F là giao điểm của HM và BC

Xét ΔHMK có I là trung điểm của HK, FI// MK(do MK//BC)

⇒F là trung điểm của HM (1)

Vì H là giao điểm của hai đường cao BA và CE trong ΔABC 

⇒H là trực tâm trong ΔABC

⇒AH là đường cao ⇒ AH⊥BC hay HM⊥BC tại F(2)

Từ (1) và (2) ⇒BC là đường trung trực của HM 

⇒ CH=CM(3)

Vì tứ giác BHCK là hbh nên HC =BK(4)

từ (3) ,(4) ⇒CM =BK

xét hình thang BCKM có CM=BK

⇒  tứ giác BCKM là hình thang cân

d)Gọi G là trung điểm của AH 

XétΔAHK có G là trung điểm AH ,I là trung điểm của HK 

⇒GI là đường trung bình trongΔ AHK

⇒GI//HK(*)

Xét ΔBEC vuông tại E(góc BEC =90 độ) có EI là đường trung tuyến (do I là trung điểm BC)

⇒EI=BC/2

Xét ΔBDC vuông tại D(góc BDC =90 độ) có DI là đường trung tuyến (do I là trung điểm BC)

⇒DI=BC/2 

Do vậy EI =DI

⇒I ∈đường trung trực của ED (5)

Xét ΔAEH vuông tại E(góc AEH =90 độ) có EG là đường trung tuyến (do G là trung điểm AH)

⇒EG=AH/2

Xét ΔADH vuông tại D(góc ADH=90 độ) có DG là đường trung tuyến (do G là trung điểm AH)

⇒DG=AH/2 

⇒G ∈đường trung trực của ED(6)

Từ (5) và (6) ⇒IG là đường trung trực của ED 

⇒IG⊥ED(**)

Từ (*),(**)⇒ED⊥AK