a, Vì $d_{1}>d_{2}$ nên mực chất lỏng ở nhánh hai cao hơn

Gọi mực chất lỏng của $d_{1}$ ở nhánh $1$ là: $h_{1}$, ở nhánh $2$ là: $h_{2}$

Ta có: $h_{1}+h_{2}=h$

Độ chênh lệch mực chất lỏng khi cân bằng:

$Δh=h+h_{2}-h_{1}=2h-2h_{1}$

Khi hệ cân bằng, ta có: $d_{1}.h_{1}=d_{2}.h+d_{1}.h_{2}$

$⇔d_{1}.h_{1}=d_{2}.h+d_{1}.(h-h_{1})$

$⇔h_{1}=\dfrac{d_{2}.h+d_{1}.h}{2d_{1}}$

$⇒Δh=2h-2h_{1}=2h-2.\dfrac{d_{2}.h+d_{1}.h}{2d_{1}}$ 

b, Vì $d_{1}>d_{2}$ nên phải đổ $d_{3}$ vào nhánh chứa $d_{2}$

Khi mực chất lỏng $d_{1}$ ở nhánh $1$ bằng mực chất lỏng $d_{2}$ ở nhánh hai, ta có:

$d_{1}.h=d_{2}.h+d_{3}.h'$

$⇒h'=\dfrac{(d_{1}-d_{2}).h}{d_{3}}$

c, Ta có: $h'=Δh$

$⇔\dfrac{(d_{1}-d_{2}).h}{d_{3}}=2h-2.\dfrac{d_{2}.h+d_{1}.h}{2d_{1}}$

$⇔d_{3}=\dfrac{(d_{1}-d_{2}).h}{2h-2.\dfrac{d_{2}.h+d_{1}.h}{2d_{1}}}=\dfrac{d_{1}-d_{2}}{2-2.\dfrac{d_{2}+d_{1}}{2d_{1}}}$