a) Ta có: ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), AB là đường kính (gt)

=> ∆ABC vuông tại C

Ta có: CD $\bot$ AB tại H (gt)

=> H là trung điểm CD (định lí đường kính và dây )

Mà H là trung điểm OB (gt)

=> Tứ giác OCBD là hình bình hành (tg có 2 đường chéo cắt nhau tại tđ mỗi đường )

Mà OB $\bot$ CD tại H

=> Hình bình hành OCBD là hình thoi ( hbh có 2 đường chéo vuông góc )

b)

Ta có: AB = 12cm (gt)

Mà AB là đường kính ∆ABC (gt)

=> OB = $\frac{1}{2}$AB = 6cm

Ta có: H là tđ OB (gt)

Mà OB = 6cm

=> HB = $\frac{1}{2}$OB = 3cm

Ta có: AH = OA + OH

Mà OA = OB (bán kính) = 6cm

OH = HB (H là tđ OB) = 3cm

=> AH = OA + OH = 6 + 3 = 9cm

Xét ∆ABC vuông tại C, đường cao CH

Ta có: BC$^{2}$ = HB. AB (htl)

=> BC${^2}$ = 3.12

=> BC = 6cm

Ta có: AC$^{2}$ = AH.AB (htl)

=> AC$^{2}$ = 9.12

=> AC = 6√3 cm

Ta có: CH$^{2}$ = AH.HB (htl)

=> CH$^{2}$ = 9.3

=> CH = 3√3cm

Mà CH = HD (tg OCBD là hbh)

=> CH = HD = 3√3cm

Mà CD = CH + HD

=> CD = 3√3 + 3√3

=> CD = 6√3cm

c) Xét ∆OCD

Ta có: OC = OD (bán kính)

=> ∆OCD là ∆ cân ( ∆ có 2 cạnh bên bằng nhau )

=> OH đường phân giác (t/c ∆ cân)

=> $\widehat{O1}$ = $\widehat{O2}$ (t/c đường phân giác )

Xét ∆OCK và ∆ODK

Ta có: OC = OD (bk)

$\widehat{O1}$ = $\widehat{O2}$ (cmt)

=> ∆OCK = ∆ODK ( c-g-c )

=> $\widehat{OCK}$ = $\widehat{ODK}$ ( 2 góc tương ứng )

Mà $\widehat{OCK}$ = 90°

=> $\widehat{ODK}$ = 90°

=> OD $\bot$ DK

=> KD là tiếp tuyến đường tròn (O)

😊