a) Ta có:

$CA,\, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,\, M\quad (gt)$

$\to OA\perp AC;\, OM\perp MC$

$\to \widehat{OAC} = \widehat{OMC} =90^\circ$

$\to \widehat{OAC} + \widehat{OMC} = 180^\circ$

$\to OACM$ là tứ giác nội tiếp

$\to A,C,M,O$ cùng thuộc một đường tròn

b) Ta có:

$CA = CM$

$OA = OM = R$

$\to OC$ là trung trực của $AM$

$\to OC$ là phân giác của $\widehat{MOA}$

$\to \widehat{MOC}=\dfrac12\widehat{MOA}$

Tương tự, ta được:

$OD$ là trung trực của $BM$

$\widehat{MOD}=\dfrac12\widehat{MOB}$

Do đó:

$\widehat{COD}=\widehat{MOC}+\widehat{MOD}=\dfrac12(\widehat{MOA}+\widehat{MOB})=90^o$

$\to ∆COD$ vuông tại $O$

Gọi $E$ là trung điểm cạnh huyền $CD$

$\to EC = EO = ED$

$\to E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ΔCOD$

Ta có: $AC//BD\quad (\perp AB)$

$\to ACDB$ là hình thang vuông tại $A,\, B$

Bên cạnh đó: $OA = OB = R$

$EC = ED = \dfrac12CD$

$\to OE$ là đường trung bình của hình thang $ACDB$

$\to OE//AC//BD$

$\to OE\perp AB$

$\to AB$ là tiếp tuyến của $(E)$ ngoại tiếp $ΔCOD$

c) Ta có: $AC = MC;\, MD = MB$

Khi đó:

$P_{ACDB}=AC + CD + DB + AB$

$= AB + 2CD = AB + 4OE$

Xét $∆OME$ vuông tại $M$ luôn có:

$OE\geq OM$ (cạnh huyền $\geq$ cạnh góc vuông)

Do đó:

$P_{ACDB}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow OE$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow OE= OM$

$\Leftrightarrow OM\perp AB$

$\Leftrightarrow M$ là điểm chính giữa nửa đường tròn

Đáp án:

a) Tiếp tuyến AC cắt tiếp tuyến CM tại C

⇒⇒ AC=CM và OC là phân giác của MOAˆMOA^

Tiếp tuyến BD cắt tiếp tuyến DM tại D

⇒⇒ BD=DM và OD là phân giác của BOMˆBOM^

Mặt khác: CD=CM+MC

⇔⇔ CD= AC+BD

Ta có: OC là phân giác của MOAˆMOA^

OD là phân giác của BOMˆBOM^

Mà MOAˆMOA^ và BOMˆBOM^ là hai góc kề bù

⇒⇒ CODˆ=90oCOD^=90o

b) Ta có: AC⊥ABAC⊥AB

BD⊥ABBD⊥AB

⇒AC//BD⇒AC//BD

Xét ΔBNDΔBND có: AC//BD

⇒CNBN=ACBD⇒CNBN=ACBD ( hệ quả của định lí Ta-let)

Mà AC=CM và BD=MD

⇒CNBN=CMMD⇒CNBN=CMMD

Xét ΔBCDΔBCD có:

CNBN=CMMD(cmt)CNBN=CMMD(cmt)

⇒MN//BD⇒MN//BD

c) CD là tiếp tuyến của (O)

⇒OM⊥CD⇒OM⊥CD tại M

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong ΔCOD(CODˆ=90o)ΔCOD(COD^=90o) ta được:

OM2=CM.MD⇔R2=CM.MDOM2=CM.MD⇔R2=CM.MD

Mặt khác: AC=MC và BD=MD

⇒R2=AC.BD⇒R2=AC.BD (không đổi)

Giải thích các bước giải: