a)

Ta có:

+   $\widehat{CBH}=\widehat{DAB}$ (hai góc đồng vị)

+   $\widehat{CDK}=\widehat{DAB}$ (hai góc đồng vị)

Nên $\widehat{CBH}=\widehat{CDK}$

Xét $\Delta CBH$ và $\Delta CDK$, ta có:

+   $\widehat{CBH}=\widehat{CDK}\left( cmt \right)$

+   $\widehat{CHB}=\widehat{CKD}=90{}^\circ $

Nên $\Delta CBH\backsim\Delta CDK\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{CH}{CK}=\dfrac{CB}{CD}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CK}{CD}$

b)

Vì $\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CK}{CD}\left( cmt \right)$

Mà do $CD=AB$ (vì $ABCD$ là hình bình hành)

Nên $\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CK}{AB}$

Tứ giác $AHCK$ có $\widehat{AHC}+\widehat{AKC}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $

Nên $\widehat{HCK}+\widehat{HAK}=180{}^\circ $

Mà $\widehat{HAK}+\widehat{CBA}=180{}^\circ $ (hai góc trong cùng phía)

Nên $\widehat{HCK}=\widehat{CBA}$

Xét $\Delta CHK$ và $\Delta BCA$, ta có:

+   $\widehat{HCK}=\widehat{CBA}\left( cmt \right)$

+   $\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CK}{AB}\left( cmt \right)$

Nên $\Delta CHK\backsim\Delta BCA\left( c.g.c \right)$

c)

Kẻ $BE\bot AC$ tại $E$

Kẻ $DF\bot AC$ tại $F$

Xét $\Delta ADF$ vuông tại $F$ và $\Delta CBE$ vuông tại $E$, ta có:

+   $AD=CB$ (vì $ABCD$ là hình bình hành)

+   $\widehat{DAF}=\widehat{BCE}$ (hai góc so le trong)

Nên $\Delta ADF=\Delta CBE\left( ch-gn \right)$

Do đó $AF=CE$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACH$, ta có:

+   $\widehat{BAE}$ là góc chung

+   $\widehat{AEB}=\widehat{AHC}=90{}^\circ $

Nên $\Delta ABE\backsim\Delta ACH\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AH}\Rightarrow AB.AH=AC.AE$

Xét $\Delta ADF$ và $\Delta ACK$, ta có:

+   $\widehat{DAF}$ là góc chung

+   $\widehat{AFD}=\widehat{AKC}=90{}^\circ $

Nên $\Delta ADF\backsim\Delta ACK\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AF}{AK}\Rightarrow AD.AK=AC.AF$

Vậy $AB.AH+AD.AK=AC.AE+AC.AF$

$\to AB.AH+AD.AK=AC\left( AE+AF \right)$

$\to AB.AH+AD.AK=AC.\left( AE+CE \right)$

$\to AB.AH+AD.AK=AC.AC$

$\to AB.AH+AD.AK=A{{C}^{2}}$