Vì a chia 8 dư 5 `=>` a + 3 chia hết cho 8

    a chia 10 dư 7 `=>` a + 3 chia hết cho 10

    a chia 15 dư 12 `=>` a + 3 chia hết cho 15

    a chia 20 dư 17 `=>` a + 3 chia hết cho 20

Mà a là nhỏ nhất `=>` a + 3 ∈ BCNN ( 8 ; 10 ; 15 ; 20 )

 Ta có : 8 = `2^3` 

            10 = 2 . 5 

            15 = 3 . 5 

            20 = `2^2` . 5 

`=>` BCNN ( 8 ;  10 ; 15 ; 20 ) = `2^3` . 3 . 5 = 120

`=>` a + 3 ∈ B ( 120 ) = { 0 ; 120 ; 240 ; 360 . . . }

`=>` a ∈ { -3 ; 117 ; 237 ; 357 ; . . . }

Mà a chia hết cho 79 `=>` a = 237

    Vậy số tự nhiên a nhỏ nhất cần tìm là 237. 

* Gọi số cấn tìm là n (n ϵ N)
Theo đề ta có:
+ n chia 8(dư 5)
+ n chia 10(dư 7)
+ n chia 15(dư 12)
+ n chia 20(dư 17)
=> n+3 ϵ Bội_Chung(8;10;15;20) (1)
=>BC(8;10;15;20)=23.5.3=120 (2)
Từ (1) và (2), suy ra:
n+3 chia hết cho 120
Ta lại có: n chia hết cho 79 nên n = 79.k (k ϵ N)
=>n + 3 = 79k + 3
=> 79k + 3 chia hết cho 120
<=>79k chia hết cho 120-3
<=>79k chia hết cho 117
<=>n chia hết cho 117
=> n chia hết cho 79 và 117
=> n ϵ BC ( 79 ; 117 )
Mà n = BCNN( 79 ; 117 )
Mà 79 và 117 là hai số nguyên tố cùng nhau nên BCNN (79 ; 117) = 79.117 = 9243
Vậy số cần tìm là 9243

Xin hay nhất và hok tốt nha!