`O` là trực tâm `ΔABQ` chứ

a/ Xét tứ giác `ADHE ` có

`hat{BAC}=hat{ADH}=hat{AEH}=90^o`

`=>ADHE` là hcn

`=>AH=DE` (t/c)
b/ Xét `ΔBDH ` vuông tại `D` có `DP` là đường trung tuyến (do `P` là trung điểm `BH`)

`=>DP=1/2 BH=PH`

`=>ΔDPH` cân tại `P`

`=>hat{PDH}=hat{PHD}` (t/c) (1)
Xét hình chữ nhật `ADHE` có `O` là giao điểm `AH` và `DE`

`=>OA=OH=OE=OD`

`=>ΔODH` cân tại `O`

`=>hat{EDH}=hat{DHA}` (t/c) (2)

Từ (1) và (2)

`=>hat{PDH}+hat{EDH}=hat{DHA}+hat{BHD}`

`=>hat{PDE}=hat{BHA}=90^o`

`=>DP⊥DE`

Tương tự `DE⊥EQ`

`=>DP` // `EQ`

`=>DEQP` là hình thang.

Mà `hat{PDE}=90^o`.

`=>DEQP` là hình thang vuông

c/ Xét `ΔHAC` có

`OH=OA;O in AH`

`Q` là trung điểm `HC`

`=>QO` là đường trung bình `ΔHAC`

`=>QO // AC`

Mà `AB⊥AC` (`ΔABC` vuông tại A`)
`=>OQ⊥AB`

Xét `ΔABQ` có

`AH⊥BC` (`Q` thuộc `BC`)

`QO⊥AB` (cmt)

`AH∩OQ={O}`

`=>O` là trực tâm `ΔABQ`

a/

Xét tứ giác EHDA có :

góc HDA = 90^o

góc CAD = 90^o

góc ADH = 90^o

=> tứ giác EHDA là hình chữ nhật

=> AH = ED ( 2 đg chéo hình chữ nhật bằng nhau )

b/

Xét tam giác vuông HDB có:

HP = PB( P là trung điểm HB)

=> DP là đường trung tuyến ứng với cạnh huyễn HB

=> DP = HP = PB

=> △HPO là △ cân tại P

=> góc PDH = góc PHD

Xét △HOD có:

OH = OD (EHDA là hình chữ nhật)

=> △HOD cân tại O

=> góc OHD = góc ODH

mà góc OHD + góc DHP = 90^o

=> góc ODH + góc HDB = 90^o

=> góc PDE = 90^o ( 1 )

Xét △vg CEH có:

Q là trung điểm CH

=> EQ là đg trung tuyến ứng với cạnh huyền CH

=> CH = 2EQ

=> EQ = QH

=> EQH là △cân tại Q

=> góc QEH = góc QHE

Xét △EOH có:

EO = OH (EHDA là hình chữ nhật)

=> tam giác EOH cân tại O

=> góc HEO = góc EHO

mà góc QHE + góc EHO = 90^o

=>góc QED = 90^o ( 2 )

Từ (1) và (2) => EQPD là hình thang vuông

c/ Xét ΔHACΔHAC có

=> QO // AC mà AC ⊥ AB => QO ⊥ AB

=> QO là đường cao ΔABQ tại đỉnh B

+) ΔABQ có AH , QO lần lượt là đường cao của BQ và AB

mà AH∩QOtạiOAH∩QOtạiO

=> O là trực tâm ΔABQ

d) Ta có :

SABC=1/2BC⋅AH

=1/2(BH+CH)⋅DE

=1/2(2DP+2EQ)⋅DE

=1/2⋅2⋅(DP+EQ)⋅DE

=(DP+EQ)⋅ED

SDEQP=1/2(DP+EQ)⋅ED

SDEQP=1/2(DP+EQ)⋅ED

mà S_ABC = ( DP + EQ ) . DE

=> S_ABC = 2S_DEQP