a) Xét $∆BAD$ và $∆EAD$ có:

$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}=\dfrac12\widehat{BAC}\quad (gt)$

$\widehat{B}=\widehat{E}=90^\circ$

$AD:$ cạnh chung

Do đó $∆BAD=∆EAD$ (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Xét $∆DAF$ có:

$DB= BF =\dfrac12DF\quad (gt)$

$AB\perp DF\quad (AB\perp AC)$

Do đó $∆DAF$ cân tại $A$

$\to AB$ là phân giác của $\widehat{DAF}$

c) Ta có: $∆BAD=∆EAD$ (câu a)

$\to \begin{cases}AB = AE\\DB = DE\end{cases}\qquad$ (hai cạnh tương ứng)

$\to AD$ là trung trực của $BE$

d) Ta có:

$DE//AF$

$\to \widehat{FAD}=\widehat{EDA}$ (so le trong)

mà $\widehat{EDA}=\widehat{DBA}=\widehat{FDA}\quad (∆BAD=∆EAD)$

nên $\widehat{FAD}=\widehat{FDA}$

$\to ∆FAD$ cân tại $F$

Ta lại có: $∆FAD$ cân tại $A$ (câu b)

$\to $∆FAD$ đều

$\to \widehat{FAD}=60^\circ$

$\to\widehat{BAD}=30^\circ$ ($AB$ là phân giác của $\widehat{FAD}$)

$\to \widehat{ABC}=2\widehat{BAD}=60^\circ$ ($AD$ là phân giác của $\widehat{ABC}$)

$\to ∆ABC$ là nửa tam giác đều