Giải thích các bước giải:

a.Ta có $DE\perp AC, DF\perp AB,AC\perp AB$

$\to AEDF$ là hình chữ nhật

$\to AD=EF$

b.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A, D$ là trung điểm $BC$

$\to DA=DB=DC$

Mà $G,D$ đối xứng qua $AB\to AG=AD, BG=BD$

$\to AG=AD=BD=BG$

$\to AGBD$ là hình thoi

c.Vì $AGBD$ là hình thoi

$\to AG=BD, AG//BD$

Lại có $D$ là trung điểm $BC\to AG//CD, AG=CD$

$\to AGCD$ là hình bình hành

Gọi $AD\cap GC=H\to H$ là trung điểm $AD, GC$

Lại có $AEDF$ là hình chữ nhật

$\to AD\cap EF$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $H$ là trung điểm $AD\to H$ là trung điểm $EF$

Vì $ADBG$ là hình thoi, $AB\cap GD=F\to F$ là trung điểm $AB\to FH$ là đường trung bình $\Delta ABD$

$\to FH//BD\to FH//AG\to FE//GK$

$\to \dfrac{HF}{AG}=\dfrac{DH}{DA}=\dfrac{HE}{AK}$

$\to AG=AK$ vì $H$ là trung điểm $EF$

$\to AK=BD$ vì $AG=BD$

Mà $AG//BD\to AK//BD\to AKBD$ là hình bình hành

$\to AD\cap BK$ tại trung điểm mỗi đường

Vì $H$ là trung điểm $AD\to H$ là trung điểm $BK$

$\to CG, BK,AD$ đồng quy tại $H$ là trung điểm mỗi đường

d.Kẻ $AI\perp BC\to AD\ge AI$

Mà $EF=AD\to EF\ge AI$

Dấu = xảy ra khi $AD=AI\to AD\perp BC$