Đáp án:

 Hình bạn tự vẽ cái nha!!!

Giải thích các bước giải:

a)  +) Xét ΔAPE và ΔAPH có:

   AP chung

^APE=^APH=90 độ (gt)

   EP=PH (gt)

=>ΔAPE = ΔAPH (c-g-c)

      +) Xét ΔAQH và ΔAQF có:

   AQ chung

 ^AQH=^AQF=90 độ (gt)

   QH=QF (gt)

=> ΔAQH = ΔAQF  (c-g-c)

b) t/g ABHQ có:

^BAQ=^AQH=^ABH=90 độ (gt)

=> ABHQ là hình chữ nhật

Xét ΔBEA ⊥ tại B

=> ^AEB+^BEA=90 độ

Xét ΔFAQ và ΔAEP có:

  FQ=AP (do FQ=QH mà QH=AP)

^FQA=^APE=90 độ (gt)

  AQ=EP (do AQ=PH mà PH=EP)

=>ΔFAQ = ΔAEP (c-g-c)

=>^E=^FAQ (2 góc t/ứ)

mà ^EAP+^PAC+^CAF= ^EAF

=> ^EAP+^PAC+^PEA=^EAF

=>  90 độ + 90 độ =^EAF

=> ^EAF=180 độ

=> E,A,F thẳng hàng

Xét ΔFEH có 

AQ//EH (do cùng ⊥ với QH)

QF=QH (gt)

=>A là trung điểm của EF

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Bạn tự vẽ hình nha.

$a)$ Do $AB⊥HE$ tại $P$

$⇒∠APE=∠APH=∠BPA=∠BPH=90^o$

Do $AC⊥HF$ tại $Q$

$⇒∠AQH=∠AQF=∠FQC=∠HQC=90^o$

Xét $ΔAPE$ và $ΔAPH$ có:

$AP$ chung

$∠APE=∠APH(cmt)$

$PE=PH(GT)$

$⇒ΔAPE=ΔAPH(đpcm)$ (cạnh - góc - cạnh)

Xét $ΔAQF$ và $ΔAQH$ có:

$AQ$ chung

$∠AQF=∠AQH(cmt)$

$QF=QH(GT)$

$⇒ΔAQF=ΔAQH(đpcm)$ (cạnh - góc - cạnh)

$b)$ Do $ΔABC$ vuông tại $A⇒∠BAC=90^o$

Do $ΔAPE=ΔAPH$ (câu a)

$⇒AE=AH(1)$ ($2$ cạnh tương ứng) và $∠PAE=∠PAH$ ($2$ góc tương ứng)

Do $ΔAQF=ΔAQH$ (câu a)

$⇒AF=AH(2)$ ($2$ cạnh tương ứng) và $∠QAF=∠QAH$ ($2$ góc tương ứng)

Ta có: $∠EAF=∠EAD+∠DAH+∠HAQ+∠QAF$

$=∠DAH+∠DAH+∠HAQ+∠HAQ$

$=2(∠DAH+∠HAQ)=2∠BAC=2.90^o=180^o$

$⇒E,A,F$ thẳng hàng (đpcm)

Từ $(1);(2)⇒AE=AF⇒A$ là trung điểm $EF(đpcm)$

$c)$ Xét $ΔABC$ vuông tại $A$

$⇒∠ABC+∠ACB=90^o$

Xét $ΔEBP$ và $ΔHBP$ có:

$BP$ chung

$∠BPA=∠BPH=90^o$ (câu a)

$EP=HP(GT)$

$⇒ΔEBP=ΔHBP$ (cạnh - góc - cạnh)

$⇒∠EBP=∠HBP=∠ABC$ ($2$ góc tương ứng)

Xét $ΔFQC$ và $ΔHQC$ có:

$QC$ chung

$∠FQC=∠HQC=90^o$ (câu a)

$FQ=HQ(GT)$

$⇒ΔFQC=ΔHQC$ (cạnh - góc - cạnh)

$⇒∠FCQ=∠HCQ=∠ACB$ ($2$ góc tương ứng)

Ta có: $∠EBC+∠BCF=∠EBP+∠HBP+∠FCQ+∠HCQ$

$=∠ABC+∠ABC+∠ACB+∠ACB$

$=2(∠ABC+∠ACB)=2.90^o=180^o$

Mà $2$ góc này nằm ở vị trí trong cùng phía

$⇒EB//FC$ (đpcm)