Đáp án:

$m<-\dfrac{3}{20}$

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}>\dfrac{3}{25}$

Giải thích các bước giải:

Có $f\left( 5{{x}^{2}}+m \right)=x-m$

$\Leftrightarrow 5.{{\left( 5{{x}^{2}}+m \right)}^{2}}=x-m$

$\Leftrightarrow 125{{x}^{4}}+50m{{x}^{2}}-x+5{{m}^{2}}+m=0$

$\Leftrightarrow \left( 5{{x}^{2}}-x+m \right)\left( 25{{x}^{2}}+5x+5m+1 \right)=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}5x^2-x+m=0\,\,\,\left(1\right)\\25x^2+5x+5m+1=0\,\,\,\left(2\right)\end{array}\right.$

Về lý do tại sao nhìn ra được nhân tử thì nhờ vào thủ thuật bấm máy tính và sẽ giải thích ở phía dưới

Để có 4 nghiệm phân biệt

Thì $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác nhau

Giả sử $a$ là nghiệm chung của $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$

Thì $\begin{cases}5a^2-a+m=0\\25a^2+5a+5m+1=0\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}25a^2-5a+5m=0\\25a^2+5a+5m+1=0\end{cases}$

$\Leftrightarrow 10a+1=0$

$\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{10}$

Thay $a=-\dfrac{1}{10}$ vào một trong hai phương trình trên

Tìm được $m=-\dfrac{3}{20}$

Vậy $m\ne -\dfrac{3}{20}$ thì hai phương trình không có nghiệm chung

$\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0\Leftrightarrow m<\dfrac{1}{20}$

Khi đó $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{1}{5}\\x_1x_2=\dfrac{m}{5}\end{cases}$

$\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0\Leftrightarrow m<-\dfrac{3}{20}$

Khi đó $\begin{cases}x_3+x_4=-\dfrac{1}{5}\\x_3x_4=\dfrac{5m+1}{25}\end{cases}$

Tổng hợp lại, $m<-\dfrac{3}{20}$ thì phương trình sẽ có 4 nghiệm phân biệt

Ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}$

$={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{3}}+{{x}_{4}} \right)}^{2}}-2\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{3}}{{x}_{4}} \right)$

$={{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{1}{5} \right)}^{2}}-2\left( \dfrac{m}{5}+\dfrac{5m+1}{25} \right)$

$=\dfrac{2}{25}-2\left( \dfrac{10m+1}{25} \right)$

Do $m<-\dfrac{3}{20}$

Nên $-2\left( \dfrac{10m+1}{25} \right)>\dfrac{1}{25}$

$\to \dfrac{2}{25}-2\left( \dfrac{10m+1}{25} \right)>\dfrac{3}{25}$

$\to x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}>\dfrac{3}{25}$

…………………………………………………..

Về cách bấm máy tính tìm nhân tử chung

Ta sẽ thế lần lượt $m=-1,m=-2,m=-3$ để tìm quy luật

Với $m=-1$ thì phương trình trở thành:

$125{{x}^{4}}-50{{x}^{2}}-x+4=0\Leftrightarrow \left( 5{{x}^{2}}-x-1 \right)\left( 25{{x}^{2}}+5x-4 \right)=0$

Với $m=-2$ thì phương trình trở thành:

$125{{x}^{4}}-100{{x}^{2}}-x+18=0\Leftrightarrow \left( 5{{x}^{2}}-x-2 \right)\left( 25{{x}^{2}}+5x-9 \right)=0$

Với $m=-3$ thì phương trình trở thành:

$125{{x}^{4}}-150{{x}^{2}}-x+42=0\Leftrightarrow \left( 5{{x}^{2}}-x-3 \right)\left( 25{{x}^{2}}+5x-14 \right)=0$

Từ đây, bằng trực giác, thấy được nhân tử chung phải là

$\left( 5{{x}^{2}}-x+m \right)\left( 25{{x}^{2}}+5x+5m+1 \right)$