Đáp án:

a) Do I và K đối xứng với N qua AB; BC

=> NI ⊥ AB; NK ⊥BC

Tứ giác BPNQ có 3 góc vuông tại B,P,Q

=> BPNQ là hình chữ nhật

b) trong ΔBAC có NP// BC (cùng vuông góc AB); N là trung điểm của AC

=> NP là đường trung bình

=> P là trung điểm của AB

Chứng minh tương tự được Q là trung điểm của BC

Xét tứ giác BNAI có: 2 đường chéo AB và NI vuông góc tại P là trung điểm mỗi đường

=> BNAI là hình thoi

=> BI//AN và BI = AN

Tương tự tứ giác BNCK là hình thoi

=> BK // NC và BK = NC

Mà AN = NC

=> BI = BK và BI trùng với BK

=> B nằm trên IK

=>  B là trung điểm của IK

c(

Hình chữ nhật BPNQ là hình vuông thì: BP = BN

Mà BA = 2BP; BC = 2BN

=> BA  =BC

=> ΔBAC vuông cân tại B

Vậy ΔBAC vuông cân tại B thì BPNQ là hình vuông

d)

Tứ giác ABKN có: BK // AN và BK = AN

=> ABKN là hình bình hành

=> BN cắt AK tại trung điểm M mỗi đường

Tứ giác BINC có: BC// IN; BC = IN = 2.PN

=> BINC là hình bình hành

=> BN cắt CI tại trung điểm mỗi đường

Mà M là trung điểm BN

=> M là trugn điểm CI

Vậy AK; BN; CI đồng quy tại trugn điểm M của chúng