Giải thích các bước giải:

a.Ta có $I$ là trung điểm $BC$

            $H,K$ đối xứng qua $I\to I$ là trung điểm $HK$

$\to BHCK$ là hình bình hành

Gọi $HM\cap CB=F$

Vì $H,M$ đối xứng qua $BC\to HM\perp BC=F,F$ là trung điểm $BC$

Lại có $I$ là trung điểm $HK\to FI$ là đường trung bình $\Delta HMK$

$\to FI//MK\to MK//BC\to BCKM$ là hình thang

Mặt khác vì $H,M$ đối xứng qua $BC$

$\to\widehat{MBC}=\widehat{HBC}=\widehat{BCK}$

$\to BCKM$ là hình thang cân

b.Ta có $KBHC$ là hình bình hành

$\to KB//CH, KC//BH$

$\to KB\perp AB, KC\perp AC$

$\to\Delta ABK,\Delta ACK$ vuông tại $B,C$

Lại có $O$ là trung điểm $AK\to OA=OB=OK=OC$

$\to OA=OB=OC$

$\to O$ là giao ba đường trung trực của $\Delta ABC$

c.Gọi $AK\cap DE=G$

Ta có:

$\widehat{OAC}=\widehat{OCA}$

$\to \widehat{GAD}=\dfrac12(\widehat{OAC}+\widehat{OCA})$

$\to \widehat{GAD}=\dfrac12(\widehat{BAC}-\widehat{OAB}+\widehat{ACB}-\widehat{OCB})$

$\to \widehat{GAD}=\dfrac12(\widehat{BAC}+\widehat{ACB}-(\widehat{OAB}+\widehat{OCB}))$

$\to \widehat{GAD}=\dfrac12(\widehat{BAC}+\widehat{ACB}-\widehat{ABC})$

$\to \widehat{GAD}=\dfrac12(\widehat{BAC}+\widehat{ACB}+\widehat{ABC}-2\widehat{ABC})$

$\to \widehat{GAD}=\dfrac12(180^o-2\widehat{ABC})$

$\to\widehat{GAD}=90^o-\widehat{ABC}$

$\to \widehat{GAD}+\widehat{ABC}=90^o$

Ta có; $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^o,\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$

$\to\Delta ABD\sim\Delta ACE(g.g)$
$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}$

$\to\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$

Mà $\widehat{EAD}=\widehat{BAC}$

$\to \Delta ADE\sim\Delta ABC(c.g.c)$

$\to \widehat{ADE}=\widehat{ABC}$

$\to \widehat{ADG}=\widehat{ABC}$

$\to \widehat{GAD}+\widehat{ADG}=90^o$

$\to \Delta AGD$ vuông tại $G$

$\to AG\perp DE\to AK\perp DE$