Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a. Vì góc A=90

MD⊥AB -> góc MDA=90

ME⊥AC -> góc MEA=90

-> ADME là hình chữ nhật (đpcm)

b. Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC vuông tại A 

-> AM=BM=CM

-> tam giác ABM cân tại M mà MD là đường cao

-> MD là đường trung tuyến 

-> D là trung điểm của AB

-> 2AD=AB 

mà 2ME=MN 

mà AD=ME

-> AB=MN mà AB//MN -> ABMN là hình bình hành (đpcm)

Vì AM=CM

-> tam giác AMC cân tại M mà ME là đường cao

-> ME là đường trung tuyến

-> E là trung điểm AC

Vì D,E là trung điểm AB, AC

-> DE là đường trung bình -> DE//BC

Vì DE//HM -> DHME là hình thang

Vì tam giác AHB vuông tại H có đường trung tuyến DH

-> DH=BD -> tam giác BHD cân tại D 

-> góc DBH = góc DHB mà góc DBH = góc EMC ( 2 góc đồng vị)

-> góc DHB = góc EMC

<-> 180 - góc DHB = 180- góc EMC
<-> góc DHM= góc HME

-> DHME là hình thang cân (đpcm)

c. Xét ΔAHB và ΔCAB có

góc AHB= góc CAB (90)

góc B chung 

-> ΔAHB và ΔCAB đồng dạng

-> góc BAH= góc BCA

Xét ΔAHB và ΔCHA có

góc BAH= góc BCA

góc AHB= góc CHA (=90)

-> ΔAHB và ΔCHA đồng dạng

-> $\frac{AH}{HB}$ =$\frac{CH}{HA}$ 

<-> AH²=HB.HC (đpcm)