Đáp án:

a) Xét ΔAPC và ΔBPQ có:

+ AP = BP

+ góc APC = góc BPQ (đối đỉnh)

+ PC = PQ

=> ΔAPC = ΔBPQ (c-g-c)

=> AC = BQ và góc PAC = góc PBQ

=> AC // BQ

Xét tứ giác ACBQ có: AC // BQ ; AC = BQ

=> ACBQ là hình bình hành

b)

EP; EF là đường trung bình của tam giác ABC

=> EP // AC; EF // AB

=> EP vuông góc AB; EF vuông góc AC

=> tứ giác APEF có 3 góc vuông tại A,P,F
=> APEF là hình chữ nhật

c)

Tứ giác AECK có 2 đường chéo AC và EK vuông góc với nhau tại trung điểm F của mỗi đường

=> AECK là hình thoi

d)

ACBQ là hình bình hành nên AQ // BC và AQ = BC

Do AECK là hình thoi nên AK//EC và AK = EC

=> AK // BC 

=> AQ trùng với AK

=> Q,A,K thẳng hàng 

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow QK = AQ + AK = BC + EC\\
 = BC + \frac{1}{2}BC\\
 = \frac{3}{2}BC
\end{array}$

Vậy QK = 3/2 BC

e) Hình chữ nhật APEF có AE cắt PF tại trung điểm M của mỗi đường

Xét tứ giác ABEK có:AB//EK; AK // BE

=> ABEK là hình bình hành

=> AE cắt BK tại trung điểm mỗi đường

Mà M là trung điểm AE

=> M nằm trên BK

=> AE, BK, PF đồng quy tại M