a) Gọi $O'$ là trung điểm $AH$

Xét $∆ADH$ vuông tại $D$ có:

$O'$ là trung điểm cạnh huyền $AH$

$\to O'A = O'H = O'D$

Xét $∆AEH$ vuông tại $E$ có:

$O'$ là trung điểm cạnh huyền $AH$

$\to O'A = O'H = O'E$

Do đó: $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn tâm $O'$

$\to O'\equiv O$

Vậy $A, D, H, E$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$

b) $∆ABC$ có:

$BD,CE$ là đường cao

$BD$ cắt $CE$ tại $H$

$\to H$ là trực tâm

$\to AH\perp BC$

Gọi $F$ là giao điểm của $AH$ và $BC$

$\to AF\perp BC$

$\to ∆HCF$ vuông tại $F$

$\to \widehat{FHC}+\widehat{FCH}=90^o\quad (1)$

Xét $∆BEC$ vuông tại $E$ có:

$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\to MB = ME= MC$

$\to ∆MED$ cân tại $M$

$\to \widehat{MEC}=\widehat{MCE}=\widehat{FCH}\quad (2)$

Ta có: $OE = OH$ (câu a)

$\to ∆OEH$ cân tại $O$

$\to \widehat{OHE}=\widehat{OEH}=\widehat{OEC}$

Ta lại có: $\widehat{OHE}=\widehat{FHC}$ (đối đỉnh)

nên $\widehat{OEC}=\widehat{FHC}\quad (3)$

$(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{OEC}+\widehat{MEC}=90^o$

$\Rightarrow OE\perp ME$

mà $OE$ là bán kính của $(O)$

nên $ME$ là tiếp tuyến của $(O)$

Giải thích các bước giải:

a. Gọi O là trung điểm AH
Xét tam giác AEH vuông tại H: O là trung điểm AH⇒AO=OH=AE⇒AO=OH=OE

Chứng minh tương tự ⇒AO=OH=OD⇒AO=OH=OD

⇒OA=OH=OD=OE⇒OA=OH=OD=OE

Vậy A,D,H,E∈(O)A,D,H,E∈(O) với O là trung điểm AH

b. Có: BD∪CE=H⇒HBD∪CE=H⇒H là trực tâm tam giác ABC

⇒AH⊥BC

Mà: CE⊥ABCE⊥AB

⇒ˆEAH=ˆECB(1)⇒EAH^=ECB^(1) (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Có: OA=OE⇒ tam giác AOE cân tại O

⇒ˆAEO=ˆEAO(2)⇒AEO^=EAO^(2)

Chứng minh tương tự ⇒⇒ tam giác EMC  cân tại MM

⇒ˆECM=ˆCEM(3)⇒ECM^=CEM^(3)

(1);(2);(3)⇒ˆAEO=ˆCEM(1);(2);(3)⇒AEO^=CEM^

Mà: ˆAEO+ˆOEC=ˆAEC=90∘AEO^+OEC^=AEC^=90∘

⇒ˆOEC+ˆCEM=ˆOEM=90∘⇒OEC^+CEM^=OEM^=90∘

⇒EM là tiếp tuyển của (O)(O) 

CÁC KÍ HIỆU ^ NTN LÀ GÓC NHÉ BẠN!