a) Ta có:

$C$ đối xứng $D$ qua $K\quad (gt)$

$\Rightarrow KC = KD = \dfrac{1}{2}CD$

Ta lại có: $CK\perp AB\quad (gt)$

$\Rightarrow AB\perp CD$

Do đó $AB$ là đường trung trực của $CD$

$\Rightarrow AC = AD;\, EC = ED\qquad (1)$

$\Rightarrow ΔACD$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{ACD} = \widehat{ADC}$

mà $\widehat{ACD} = \widehat{EDC}$ (so le trong)

nên $\widehat{ADC} = \widehat{EDC}$

$\Rightarrow DC$ là phân giác của $\widehat{ADE}$

Lại có: $DC\perp AE\quad (CD\perp AB)$

$\Rightarrow ΔADE$ cân tại $D$

$\Rightarrow AD = DE\qquad (2)$

$(1)(2)\Rightarrow AC = AD = DE = EC$

$\Rightarrow ADEC$ là hình thoi

b) Ta có: $DF//AC\quad (gt)$

$\quad AC\perp BC$ ($ΔABC$ vuông tại $C$)

$\Rightarrow DF\perp BC$

$\Rightarrow ΔDFC$ vuông tại $F$

Xét $ΔDFC$ vuông tại $F$ có:

$K$ là trung điểm cạnh huyền $CD$

$\Rightarrow FK = KC = KD$

$\Rightarrow ΔKCF$ cân tại $K$

c) Ta có: $ΔDKF$ cân tại $K\quad (KD = KF)$

$\Rightarrow \widehat{KFD} = \widehat{KDF} =\widehat{KDE}$

Xét $ΔEFB$ vuông tại $F$ có:

$G$ là trung điểm cạnh huyền $BE \quad (gt)$

$\Rightarrow GF = GE = GB$

$\Rightarrow ΔGEF$ cân tại $G$

$\Rightarrow \widehat{GFE} = \widehat{GEF}$

mà $\widehat{GEF} = \widehat{KED}\quad$ (đối đỉnh)

nên $\widehat{GFE} = \widehat{KED}$

Do đó:

$\widehat{KFD} + \widehat{GFE} = \widehat{KDE} + \widehat{KED} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{KFG} = 90^\circ$

d) Ta có:

$AB$ là trung trực của $CD$ (câu a)

$\Rightarrow AC = AD;\, BC = BD$

Xét $ΔACB$ và $ΔADB$ có:

$AC = AD\quad (cmt)$

$BC = BD \quad (cmt)$

$AB:$ cạnh chung

Do đó $ΔACB = ΔADB \, (c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{ADB} = \widehat{ACB} = 90^\circ$ (Hai góc tương ứng)

Vậy $AD\perp DB$