Đáp án:

 BĐT Phụ

`x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + zx`

thật vậy

`x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + zx`

`<=> 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 ≥ 2xy + 2yz + 2zx`

`<=> 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 -  2xy - 2yz - 2zx ≥ 0`

`<=> (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z-x)^2 ≥ 0`  (đúng)

Dấu "=" xảy ra `<=> x = y = z`

Áp dụng BĐT phụ ta có

`a^4 + b^4 + c^4`

`= (a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 ≥ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2`

Cũng áp dụng BĐT phụ

`-> a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2`

`= (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 ≥ ab^2c + bc^2a + ba^2c = abc(a + b + c)`

Như vậy `-> a^4 + b^4 + c^4 ≥ abc(a + b + c)`

dấu "=" xảy ra `<=> a = b = c`

Áp dụng `-> a^4 + b^4 + c^4 - 3abc ≥ abc(a + b + c) - 3abc = 3abc - 3abc = 0`

Dấu "=" xảy ra `<=> a = b = c = 1`

Vậy GTNN của `a^4 + b^4 + c^4 - 3abc` là `0 <=> a = b = c = 1`

Giải thích các bước giải:

Đáp án:

BĐT Phụ

x2+y2+z2≥xy+yz+zx

thật vậy

x2+y2+z2≥xy+yz+zx

⇔2x2+2y2+2z2≥2xy+2yz+2zx

⇔2x2+2y2+2z2− 2xy−2yz−2zx≥0

⇔(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2≥0  (đúng)

Dấu "=" xảy ra ⇔x=y=z

Áp dụng BĐT phụ ta có

a4+b4+c4

=(a2)2+(b2)2+(c2)2≥a2b2+b2c2+c2a2

Cũng áp dụng BĐT phụ

→a2b2+b2c2+c2a2

=(ab)2+(bc)2+(ca)2≥ab2c+bc2a+ba2c=abc(a+b+c)

Như vậy →a4+b4+c4≥abc(a+b+c)

dấu "=" xảy ra ⇔a=b=c

Áp dụng →a4+b4+c4−3abc≥abc(a+b+c)−3abc=3abc−3abc=0

Dấu "=" xảy ra ⇔a=b=c=1

Vậy GTNN của a4+b4+c4−3abc là 0⇔a=b=c=1

Giải thích các bước giải: