Đáp án+Giải thích các bước giải:

 $a)$ Xét $ΔABC$ và $ΔHBA$ , Có 

$∠BAC=∠BHA(=90)$

$∠ABC$ chung

$→ΔABC $ ᔕ   ΔHBA ( g-g )

$b)$ Xét $ΔABC$ và $ΔHAC$ , Có 

$∠BAC=∠AHC(=90)$

$∠ACB$ chung

$→ΔABC $ ᔕ  ΔHAC ( g-g )

Mà $ΔABC $ ᔕ   ΔHBA ( cmt )

$→ΔABC $ ᔕ   ΔHBA  ᔕ   ΔHAC

$→\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{HC}{AH}$

$↔AH^2=BH.HC$

$c)$

Xét $ΔABH$ Có $P$ là trung điểm $BH$ ; $Q$ là trung điểm $AH$

$→PQ $ là đường trung bình $ΔABH$

$→PQ//AB$

$→ΔABH$ ᔕ  ΔQPH

$→\dfrac{S_{ABH}}{S_{QPH}}=\dfrac{BH^2}{PH^2}=2^2=4$

$d)$ Ta có : $\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{2BP}{2AQ}=\dfrac{BP}{AQ}$

Lại có : $ΔHBA $ ᔕ   ΔHAC (cmt)

$→\begin{cases} \dfrac{BA}{AC}=\dfrac{BH}{AH}\\∠HBA=∠HAC \end{cases}$

Xét $ΔABP$ và $ΔCAQ$ , Có :

$ \dfrac{BA}{AC}=\dfrac{BP}{AQ}(=\dfrac{BA}{AC})$

$∠PBA=∠QAC(cmt)$

$→ΔABP$ ᔕ  ΔCAQ (g-g)

$(ĐPCM)$