a) Cm: ∆ABC vuông 

Ta có: ∆ABC nội đường tròn, AB là đường kính

`=>` ∆ABC vuông tại C

Tính độ dài các cạnh.

Ta có: OA = R ( bán kính )

`=>` AB =2R

Xét ∆ABC vuông tại C

Ta có: Cos A = $\frac{AC}{AB}$ (tslg)

`=>`Cos 60° = $\frac{AC}{2R}$

`=>` AC = Cos 60°.2R

`=>` AC =$\frac{1}{2}$.2R

`=>` AC = R

 Ta có: ∆ABC vuông tại C

AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$ ( định lí Pytago)

`=>` (2R)$^{2}$ = R$^{2}$+ BC$^{2}$

`=>` 4R$^{2}$ = R$^{2}$ + BC$^{2}$

`=>` CB$^{2}$ =3R$^{2}$

`=>` CB = R√3

b)

Ta có: CH $\bot$ AB tại H (gt)

`=>` CH là đường cao ∆ABC

Xét ∆ABC vuông tại C, đường cao CH

Ta có: AC$^{2}$ = AH. AB (htl) (1)

Xét ∆MAB vuông tại A, đường cao CA

Ta có: AC$^{2}$ = MC.BC (htl) (2)

Từ (1),(2) `=>` MC.BC = AH.AB ( cùng bằng AC$^{2}$ )

c)

Ta có: CH $\bot$ AB (gt)

MA $\bot$ AB ( Ax là tiếp tuyến, M ∈ Ax )

`=>` MA // CH ( cùng vuông AB )

Mà E ∈ MA, I ∈ CH

`=>` ME//CI, EA //IH

Xét ∆BME 

Ta có: ME // CI (cmt)

`=>` $\frac{IC}{EM}$ = $\frac{BI}{BE}$ (hệ quả định lí Ta lét) (3)

Xét ∆BEA

Ta có: EA // IH (cmt)

`=>` $\frac{IH}{EA}$ = $\frac{BI}{BE}$ (hệ quả định lí Ta lét) (4)

Từ (3),(4) `=>` $\frac{IC}{EM}$ = $\frac{IH}{EA}$ ( cùng bằng $\frac{BI}{BE}$ )

Mà IH = IC ( I là trung điểm )

`=>` EM = EA

`=>` E là trung điểm AM

Ta có: ∆MCA vuông tại C

E là trung điểm AM (cmt)

`=>` EC là đường trung tuyến ∆MCA

`=>` EC = AE = EM = $\frac{1}{2}$AM (t/c đường trung tuyến ∆ vuông )

`=>`∆AEC cân tại E

`=>` $\widehat{EAC}$ = $\widehat{ECA}$ ( 2 góc đáy ∆ cân )

Ta có: AC = OC = OA ( cùng bằng R )

`=>` ∆OAC là ∆ đều ( ∆ có 3 cạnh bằng nhau )

`=>` $\widehat{CAO}$ = $\widehat{OCA}$ ( 2 góc đáy tam giác đều )

Mà $\widehat{EAC}$ = $\widehat{ECA}$ (cmt)

`=>` $\widehat{CAO}$ + $\widehat{EAC}$ = $\widehat{OCA}$ + $\widehat{ECA}$

`=>` 90° = $\widehat{ECO}$

`=>` EC $\bot$ OC tại C

`=>` EC là tiếp tuyến đường tròn (O)

😊

Hướng dẫn:

a) Chứng minh tam giác ABC vuông bằng nội tiếp đường tròn, AB là đường kính

Tính độ dài bằng cosA (TSLG

=>AC = R

Tính cạnh còn lại bằng định lí Pytago

b) Dùng hệ thức lượng ở tam giác ABC vuông tại C và tam giác MAB vuông tại A rồi suy ra theo tính chất bắc cầu

c) Bạn xem bạn ở trên làm nha.

*Xin đừng xóa ạ.