`#Kenshiro`

a ) Ta có :

`IE = IF = ID = 1/2 AM = IA = IM` ( trung tuyến trong tam giác vuông )

Tam giác `IAE` cân tại `I` có `\hat{EIM} = \hat{IAE} + \hat{IEA} = 2\hat{IAE}` ( góc ngoài tam giác )

Tương tự ta có :

`\hat{MID} = 2\hat{IAD}`

`⇒ \hat{EID} = \hat{EIM} + \hat{MID} = 2\hat{IAE} + 2\hat{IAD} = 2\hat{EAD} = 2.30` độ = `60` độ

Tam giác `IED` có `ID = ID,` `\hat{EID}` = `60` độ

`=>` Tam giác `IED` đều `=> IE = ID = ED`

CMTT có: Tam giác `IFD` đều `=> IF = ID = DF`

`=> IE = IF = DE = DF => EIFD` là hình thoi

`b) EIFD` là hình thoi `=> ID` và `EF` cắt nhau tại `TĐ` mỗi đường. Gọi `O` là giao của `EF` và `ID => O` là `TĐ` của `EF` và `ID`

Gọi `G` là trung điểm của `AH`

Ta có :

`IG` là đường `TB` của tam giác `AMH => IG // MH`

`OH `là đường `TB` của tam giác `AID => OH // IG`

`=>` Qua điểm `H` kẻ được `OH, MH` cùng song song với `IG`

`=> O, M, H` thẳng hàng `=> MH` đi qua `O`

Vậy `MH , ID , EF` đồng quy tại `O`

c) `EF` nhỏ nhất `=> OE` nhỏ nhất.

Ta có:

`OE = IE.sin60 = ID.sin60`

`=> OE` nhỏ nhất `=> ID` nhỏ nhất `=> AM` nhỏ nhất `=> M` trùng `D`

$a, ID = IE = \dfrac{1}{2}AM$ 

$\to \triangle EID$ cân tại $I$ 

Lại có : $\widehat{EID} = 60°$

$\to \triangle EID$ là tam giác đều 

$\to IE = ID = ED$. 

+) $ID = IF = FD$

$\to IE = ED= DF=FI$

$\to DEIF$ là hình thoi. 

$b, N$ là trung điểm $AH$

$\to AN = NH=HD$

Mà $\{O\} = ID \cap EF$ 

$\Rightarrow OH // IN, HM // IN$

$\Rightarrow M, O, H$ thẳng hàng 

Vậy $MH, ID, EF$ đồng quy. 

$c, \triangle IEF$ cân tại $I$ có $\widehat{EIF} =120°$

$\to EF min \Leftrightarrow IE = IF = \dfrac{1}{2} AM$

$\to AM \text{min}$

Do $AM$ `>=` $AD$ 

$\Rightarrow AM \text{min}$  $\Leftrightarrow AM \equiv AD$ hay $M \equiv D$