Ta có:

$\widehat{ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow ΔABC$ vuông tại $C$

Ta cũng có:

$MA,\, MC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,\, C\quad (gt)$

$\Rightarrow MA = MC$

mà $OA = OC = R$

nên $OM$ là trung trực của $AC$

$\Rightarrow OM\perp AC$

Gọi $D$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow OD\perp AC$

$\Rightarrow \widehat{AOD} = \widehat{ACH}$ (cùng phụ $\widehat{BAC}$)

$\Rightarrow \sin^2\widehat{AOD} = \sin^2\widehat{ACH}$

$\Rightarrow \dfrac{AM^2}{OM^2} = \dfrac{AH^2}{AC^2}$

$\Rightarrow \dfrac{MD.OM}{OM^2} = \dfrac{AH^2}{AH.AB}$

$\Rightarrow \dfrac{MD}{OM} = \dfrac{AH}{AB}\qquad (1)$

 Mặt khác:

$CH//AM\quad (\perp AB)$

$\Rightarrow IH//AM$

$\Rightarrow \dfrac{MI}{MB} = \dfrac{AH}{AB}\qquad (2)$

$(1)(2)\Rightarrow \dfrac{MI}{MB} = \dfrac{MD}{MO}$

$\Rightarrow ID//OB$ (định lý $Thales$ đảo)

$\Rightarrow ID//AH$

Xét $ΔAHC$ có:

$AD = DC\quad $(cách dựng)

$ID//AH\quad (cmt)$

$\Rightarrow CI = IH$

hay $I$ là trung điểm $CH$