Đáp án:

a) $\triangle ABH\backsim\triangle CBA$

b) $BC=10cm; AH=4,8cm$

c) $AI\bot MN$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle CBA$:

$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{ABH}$: chung

$\to\triangle ABH\backsim\triangle CBA$ (g.g)

b)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(cm)$

$\triangle ABH\backsim\triangle CBA$ (cmt)

$\to\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{CB}{CA}\\\to AH=\dfrac{AB.CA}{CB}=\dfrac{6.8}{10}=4,8(cm)$

c)

Gọi giao điểm của AI và MN là E

Xét $\triangle AHM$ và $\triangle ABH$:

$\widehat{AMH}=\widehat{AHB}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{BAH}$: chung

$\to\triangle AHM\backsim\triangle ABH$ (g.g)

$\to\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{AB}{AH}\\\to AH^2=AM.AB$

Chứng minh tương tự

$\to\triangle AHN\backsim\triangle ACH$

$\to\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AC}{AH}\\\to AH^2=AN.AC$

$\to AM.AB=AN.AC$

$\to\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AC}{AB}$

Xét $\triangle AMN$ và $\triangle ACB$:

$\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AC}{AB}$ (cmt)

$\widehat{MAN}$: chung

$\to\triangle AMN\backsim\triangle ACB$ (c.g.c)

$\to\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$

$\triangle ABC$ vuông tại A có đường trung tuyến AI (gt)

$\to AI=BI=CI=\dfrac{1}{2}BC$

$\to\triangle IAB$ cân tại I

$\to\widehat{IAB}=\widehat{IBA}$ (2 góc ở đáy)

Xét $\triangle AEM$ và $\triangle BAC$:

$\widehat{MAE}=\widehat{CBA}$ (cmt)

$\widehat{AME}=\widehat{BCA}$ (cmt)

$\to\triangle AEM\backsim\triangle BAC$ (g.g)

$\to\widehat{AEM}=\widehat{BAC}$

Mà $\widehat{BAC}=90^o$ (gt)

$\to\widehat{AEM}=90^o\\\to AI\bot MN$