Giải thích các bước giải:

a,

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC bằng: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\)

AH vuông góc với BC nên diện tích tam giác ABC được tính bằng: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC\)

Do đó \(\dfrac{1}{2}AH.BC = {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC \Leftrightarrow AH.BC = AB.AC\)

b,

MN vuông góc với AB, MP vuông góc với AC nên \(\widehat {MNA} = \widehat {MPA} = 90^\circ \)

Tam giác ABC vuông tại A nên tứ giác ANMP có 3 góc vuông là góc A, N, P 

Do đó ANMP là hình chữ nhật

c,

Gọi I là giao điểm của NP và AM

ANMP là hình chữ nhật nên I là trung điểm NP và AM và AM=NP

Tam giác AHM vuông tại H có trung tuyến HI nên \(HI = \dfrac{1}{2}AM = \dfrac{1}{2}NP\)

Tam giác NHP có trung tuyến HI thỏa mãn \(HI = \dfrac{1}{2}NP\) nên tam giác NHP vuông tại H

Do đó \(\widehat {NHP} = 90^\circ \)

d,

NP nhỏ nhất mà NP=AM nên AM nhỏ nhất

Ta có: AH là đường cao từ A tới BC nên \(AM \ge AH\).

Do đó AM nhỏ nhất khi M trùng H.