Đáp án:

$\dfrac{100^{2008}+2}3-\dfrac{100^{2009}+17}9$ là số nguyên.

Giải thích các bước giải:

$\dfrac{100^{2008}+2}3-\dfrac{100^{2009}+17}9\\=\dfrac{\overbrace{100.100...100}^{2008 \rm\ số}+2}{3}-\dfrac{\overbrace{100.100...100}^{2009\rm\ số}+17}9\\=\dfrac{100...0+2}3-\dfrac{100...0+17}9\\=\dfrac{100...02}3-\dfrac{100...17}9$

Ta có mẫu số của $\dfrac{100...02}3$ có tổng các chữ số là:

$1+0+0\ +\,.\!.\!.+\ 0+2=3\ \vdots\ 3$

$\Rightarrow\dfrac{100...02}3\ \vdots\ 3\Rightarrow\dfrac{100^{2008}+2}3\ \vdots\ 3$.

Ta có mẫu số của $\dfrac{100...17}9$ có tổng các chữ số là:

$1+0+0\ +\,.\!.\!.+\ 1+7=9\ \vdots\ 9$

$\Rightarrow\dfrac{100...17}9\ \vdots\ 9\Rightarrow\dfrac{100^{2009}+17}9\ \vdots\ 9$.

$\Rightarrow \dfrac{100^{2008}+2}3-\dfrac{100^{2009}+17}9$ là số nguyên.

Vậy ta suy ra điều phải chứng minh.

$\huge{.}$Xét `(100^2008+2)/3` ta có`:`

`100^2008=1\underbrace{0000...000}_{2008\text{ chữ số 0}`

`=>100^2008+2=1\underbrace{0000...000}_{2007\text{ chữ số 0}``2`

Suy ra`:` `100^2008+2` có tổng các chữ số là`:`

`1+0+0+0+0+...+0+0+2=1+0+2=1+2=3`

Do đó `100^2008+2\vdots3`

`=>(100^2008+2)/3` là một số nguyên    `(1)`

$\huge{.}$Xét `(100^2009+17)/9` ta có`:`

`100^2009=1\underbrace{0000...000}_{2009\text{ chữ số 0}`

`=>100^2009+17=1\underbrace{0000...000}_{2007\text{ chữ số 0}``17`

Suy ra`:` `100^2009+17` có tổng các chữ số là`:`

`1+0+0+0+0+...+0+0+1+7=1+0+1+7=2+7=9`

Do đó `100^2009+17\vdots9`

`=>(100^2009+17)/9` là một số nguyên     `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra`:`

`(100^2008+2)/3-(100^2009+17)/9` là một số nguyên `(đpcm)`