a) Ta có:

$E$ đối xứng $H$ qua $AB\quad (gt)$

$\Rightarrow AB$ là trung trực của $HE$

$\Rightarrow AB\perp HE$

$\Rightarrow \widehat{AMH} =90^\circ$

Tương tự ta được:

$AC$ là trung trực của $HF$

$\Rightarrow AC\perp HF$

$\Rightarrow \widehat{ANH} = 90^\circ$

Xét tứ giác $AMHN$ có:

$\widehat{MAN} = \widehat{AMH} = \widehat{ANH} = 90^\circ$

Do đó $AMHN$ là hình chữ nhật

b) Ta có:

$AB$ là trung trực của $HE$

$\Rightarrow AE = AH$

Ta cũng được:

$AB$ là phân giác của $\widehat{HAE}$

$\Rightarrow \widehat{HAB} = \widehat{EAH} = \dfrac{1}{2}\widehat{HAE}$

Tương tự:

$AC$ là trung trực của $HF$

$\Rightarrow \begin{cases}AF = AH\\\widehat{HAC} = \widehat{FAC} = \dfrac{1}{2}\widehat{HAF}\end{cases}$

Ta được:

$+) \quad AE = AF \quad (=AH)$

$+) \quad \widehat{HAE} + \widehat{HAF} = 2(\widehat{HAB} + \widehat{HAC}) =2\widehat{BAC} = 180^o$

Do đó $E,F$ đối xứng nhau qua $A$

c) Ta có: $AI$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC\quad (gt)$

$\Rightarrow IA = IB =IC = \dfrac{1}{2}BC$

$\Rightarrow ΔIAB$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IAB} = \widehat{IAM} = \widehat{IBA} = \widehat{ABC}$

Ta lại có:

$\widehat{AMN} = \widehat{AHN}\quad (AMHN$ là hình chữ nhật$)$

$\widehat{AHN} = \widehat{ACH} = \widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{NHC}$)

Do đó:

$\widehat{IAM} + \widehat{AMN} = \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 90^\circ$

$\Rightarrow AI\perp MN$

Đáp án:

a) Do E, F đối xứng với H qua AB và AC

=> EH ⊥ AB = {M}, FH ⊥ AC = {N}

Xét tứ giác AMHN có 3 góc vuông tại A, M, N

=> AMHN là hình chữ nhật

b)

Xét ΔAEM và ΔAHM có:

+ góc AME = góc AMH  = 90 độ

+ AM chung

+ EM = HM

=> ΔAEM = ΔAHM (c-g-c)

=> AE = AH và góc HAM = góc EAM

Tương tự ta chứng minh được ΔAHN = ΔAFN (c-g-c)

=> AH = AF; góc HAN = góc FAN

Mà tổng 2 góc HAM và HAN = 90 độ

=> tổng 4 góc HAM; HAN; EAM; FAN = 180 độ

=> E,A,F thẳng hàng và AE = AF = AH

=> E đối xứng với F qua A

c)

Gọi AI căt MN tại K

Trong tam giác vuông ABC có AI đường trung tuyến 

=> AI = BI = CI = BC/2

=> ΔAIC cân tại I

=> góc IAC = góc C

Ta có: góc KNA = góc MHA (do AMHN là hình chữ nhật)

góc MHA = góc B (cùng phụ với góc MHB)

=> góc KNA = góc B

=> góc IAC +góc KNA = góc C+ góc B = 90 độ

=> trong ΔKAN có tổng 2 góc tại A và N = 90 độ

=> góc AKN = 90 độ

=> AI ⊥ MN tại K