a) Ta có: $ABCD$ là hình bình hành có:

$AD = 2AB \quad (gt)$

$\Rightarrow AB = CD = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}BD$

Ta lại có:

$BM = MC = \dfrac{1}{2}BC\quad (gt)$

$AN = ND = \dfrac{1}{2}AD\quad (gt)$

Do đó $AB = BM = MC = CD = DN = NA$

$\Rightarrow ABMN,\, BCNM$ là hình thoi

b) Ta có: $ABMN$ là hình thoi (câu a)

$\Rightarrow AB//MN$

$\Rightarrow AJ//MN$

$\Rightarrow AJMN$ là hình thang hai đáy $AJ,\, MN\qquad (1)$

Mặt khác:

$A$ đối xứng $J$ qua $B\quad (gt)$

$\Rightarrow AB = BJ$

$\Rightarrow BJ = BM$

$\Rightarrow ΔBMJ$ cân tại $B$

Lại có: $\widehat{MBJ} = 180^\circ - \widehat{ABM} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ (kề bù)

Do đó $ΔBMJ$ đều

$\Rightarrow \widehat{BJM} =\widehat{AJM}= 60^\circ$

Bên cạnh đó:

$\widehat{JAN} = \widehat{BAN} = 180^\circ - \widehat{ABM} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ (trong cùng phía)

 Do đó $\widehat{AJM} = \widehat{JAN} = 60^\circ\qquad (2)$

$(1)(2)\Rightarrow AJMN$ là hình thang cân

c) Ta có: $ΔBMJ$ đều (câu b)

$\Rightarrow MJ = MB$

$ΔCDM$ cân tại $C \quad (CM = CD)$ có:

$\widehat{MCD} = \widehat{BCD} = \widehat{BAD} = 60^\circ$

$\Rightarrow ΔCDM$ đều

$\Rightarrow CM = MD$

mà $MC = MB$

nên $MJ = MB = MC = MD$

Do đó $BJCD$ là hình chữ nhật

d) Ta có:

$ABMN,\, BCNM$ là hình thoi (câu a)

$\Rightarrow MA,\, MD$ lần lượt là phân giác của $\widehat{NMB},\, \widehat{NMC}$

mà $\widehat{NMB}$ và $ \widehat{NMC}$ là hai góc kề bù

nên $\widehat{AMD} = 90^o$