Xét $ΔABD$ có:

$AE = EB = \dfrac{1}{2}AB \quad (gt)$

$AF = FD = \dfrac{1}{2}AD\quad (gt)$

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình

$\Rightarrow \begin{cases}EF//BD\\EF=\dfrac{1}{2}BD\end{cases}\qquad (1)$

Chứng minh tương tự, ta được:

$+) \quad GH$ là đường trung bình của $ΔBCD$

$\Rightarrow \begin{cases}GH//BD\\GH=\dfrac{1}{2}BD\end{cases}\qquad (2)$

$(1)(2)\Rightarrow \begin{cases}EF=GH\\EF//GH\end{cases}$

$\Rightarrow EFGH$ là hình bình hành $\qquad (3)$

$+) \quad EH$ là đường trung bình của $ΔABC$

$\Rightarrow EH//AC$

mà $BD\perp AC$

nên $BD\perp EH$

Lại có:

$EF//BD\quad (cmt)$

$\Rightarrow EF\perp EH\qquad (4)$

$(3)(4)\Rightarrow EFGH$ là hình chữ nhật

$F,E$ là trung điểm $AD,AB$

$\to FE$ là đường trung bình $\Delta{ADB}$

$\to \begin{cases}FE//BD\\FE=\dfrac{BD}{2}\end{cases}$ (1)

$G,H$ là trung điểm $CD,CB$

$\to GH$ là đường trung bình $\Delta{CDB}$

$\to\begin{cases}GH//BD\\GH=\dfrac{BD}{2}\end{cases}$ (2)

(1)(2) $\to EFGH$ là hình bình hành

$FE//BD$ mà $BD\perp AC$

$\to FE\perp AC$

$F,G$ là trung điểm $DA,DC$

$\to FG$ là đường trung bình $\Delta{BAC}$

$\to FG//AC$ mà $FE\perp AC$

$\to FE\perp FG$ mà $EFGH$là hình bình hành

$\to EFGH$ là hình vuông