Giải thích các bước giải:

a.Ta có $I$ là trung điểm $BC$

           $H,K$ đối xứng qua $I\to I$ là trung điểm $HK$

$\to BHCK$ là hình bình hành

Gọi $HM\cap BC=F$

Vì $H,M$ đối xứng qua $BC\to HM\perp BC=F, F$ là trung điểm $HM$

$\to FI$ là đường trung bình $\Delta HMK$

$\to FI//MK\to MK//BC$

Lại có $H,M$ đối xứng qua $BC$ và $BHCK$ là hình bình hành

$\to \widehat{MBC}=\widehat{HBC}=\widehat{BCK}$

$\to BCKM$ là hình thang cân

b.Ta có $BD\perp AC, CE\perp AB, BD\cap CE=H$

$\to BH\perp AC, CH\perp AB$

Mà $BHCK$ là hình bình hành

$\to BH//CK, BK//CH$

$\to KC\perp AC, KB\perp AB$

$\to\Delta ABK,\Delta ACK$ vuông tại $B,C$

Mà $O$ là trung điểm $AK$

$\to OB= OA=OK=OC$

$\to OA=OB=OC$

$\to O$ là giao ba đường trung trực $\Delta ABC$

c.Gọi $AK\cap DE=G, AK\cap BD=J$

Ta có: $\widehat{HEB}=\widehat{HDC}=90^o,\widehat{EHB}=\widehat{DHC}$

$\to\Delta EHB\sim\Delta DHC(g.g)$

$\to \dfrac{EH}{DH}=\dfrac{HB}{HC}$

$\to \dfrac{EH}{HB}=\dfrac{DH}{HC}$

Mà $\widehat{EHD}=\widehat{BHC}$
$\to\Delta HDE\sim\Delta HCB(c.g.c)$

$\to \widehat{HDE}=\widehat{HCB}=\widehat{ECB}=90^o-\widehat{EBC}=90^o-\hat B$

Ta có $OA=OC=OB\to\Delta OAC,OBC,OAB$ cân tại $O$

$\widehat{OAC}=\widehat{OCA}$

$\to \widehat{GAD}=\widehat{OAC}=\dfrac12(\widehat{OAC}+\widehat{OCA})$

$\to \widehat{GAD}=\dfrac12(\hat A-\widehat{OAB}+\hat C-\widehat{OCB})$

$\to \widehat{GAD}=\dfrac12(\hat A+\hat C-\widehat{OBA}-\widehat{OBC})$

$\to \widehat{GAD}=\dfrac12(180^o-\hat B-(\widehat{OBA}+\widehat{OBC}))$

$\to \widehat{GAD}=\dfrac12(180^o-\hat B-\hat B)$

$\to \widehat{GAD}=90^o-\hat B$

$\to \widehat{GAD}=\widehat{EDH}=\widehat{GDJ}$

$\to \widehat{JAD}=\widehat{JDG}$

Mà $\widehat{GJD}=\widehat{AJD}$

$\to \Delta JGD\sim\Delta JDA(g.g)$

$\to \widehat{JGD}=\widehat{JDA}=90^o$

$\to DG\perp JG$

$\to AK\perp ED$