a) Xét $∆ABC$ có:

$AP = PB =\dfrac12AB\quad (gt)$

$AQ = QC =\dfrac12AC\quad (gt)$

$\Rightarrow PQ$ là đường trung bình

$\Rightarrow PQ =\dfrac12BC = R$

Do đó $PQ$ có độ dài không đổi khi $A$ di chuyển trên $(O)$

b) Ta có:

$\widehat{BAC}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat{PAQ}=90^o;\, AB\perp AC$

Xét $∆ABC$ có:

$AP = PB =\dfrac12AB\quad (gt)$

$BO = OC = R$

$\Rightarrow PO$ là đường trung bình

$\Rightarrow PO//AC$

$\Rightarrow PO\perp AB$

$\Rightarrow \widehat{APO}=90^o$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\widehat{AQO}=90^o$

Xét tứ giác $APOQ$ có:

$\widehat{PAQ}=\widehat{APO}=\widehat{AQO}=90^o\quad (cmt)$

Do đó $APOQ$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AO$ và $PQ$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Ta lại có: $M$ là trung điểm $PQ\quad (gt)$

$\Rightarrow M$ là trung điểm $AO$

$\Rightarrow OM = \dfrac12AO = \dfrac{R}{2}$ (không đổi)

Vậy khi $A$ di chuyển trên $(O), \, M$ di chuyển trên $\left(O;\dfrac{R}{2}\right)$

a,

$\Delta ABC$ có $P$, $Q$ là trung điểm của $AB$, $AC$ nên $PQ$ là đường trung bình $\Delta ABC$.

$\Rightarrow PQ=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{R}{2}$

Vậy khi A thay đổi, độ dài $PQ=\dfrac{R}{2}$ không đổi.

b,

$\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BC}=90^o$

$\Delta APQ$ vuông tại A, $AM$ trung tuyến.

$\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}PQ=\dfrac{R}{4}$

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn $(A;\dfrac{R}{4})$