Giải thích các bước giải:

a.Vì $\Delta ABC$ đều

$\to O$ vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp

$\to AO\perp BC\to AH\perp BC$

$\to AH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=6$

Mà $\dfrac{AB}{\sin C}=2R$

$\to 2R=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sin60^o}\to R=4$ 

c.Ta có $EA$ là tiếp tuyến của $(O)\to\widehat{EAO}=90^o$

Mà $O$ là trực tâm $\Delta ABC\to BO\perp AC$

$\to BO$ là trung trực $AC$ vì $\Delta ABC$ đều

$\to A,C $ đối xứng qua $BO$

Lại có $E\in BO\to \widehat{ECO}=\widehat{EAO}=90^o$

$\to EC$ là tiếp tuyến của $(O)$

Ta có $EA,EC$ là tiếp tuyến của $(O)\to EA=EC$

Mà $\widehat{EAC}=\widehat{ABC}=60^o$

$\to \Delta ACE$ đều

$\to EA=EC=AC=AB=BC$

$\to ABCE$ là hình thoi

c.Ta có: $\widehat{ABN}=\widehat{ABC}=60^o=\widehat{ACB}=\widehat{AMB}$

Mà $\widehat{BAN}=\widehat{BAM}$

$\to\Delta ABN\sim\Delta AMB(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AN}{AB}$

$\to AM.AN=AB^2$

$\to AM(AM-MN)= AB^2$

$\to AM-MN=\dfrac{AB^2}{AM}$

$\to MN=AM-\dfrac{AB^2}{AM}$

$\to MN=AM-\dfrac{48}{AM}$

Mà $AM\le 2R=8$

$\to MN\le 8-\dfrac{48}{8}=2$

Dấu = xảy ra khi $AM=2R\to AM$ là đường kính của $(O)$

$\to M\equiv D$