Ta có:

$I,\, K$ là giao điểm các đường phần giác của $∆HAB,\, ∆HAC$

$\Rightarrow I,\, K$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp $∆HAB,\, ∆HAC$

Gọi $D',\, E'$ lần lượt là giao điểm của $(A;AH)$ và $AB,\, AC$

$\Rightarrow AD' = AE' = AH = R$

$\Rightarrow ∆AD'E'$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{AD'E'}=\widehat{AE'D'}=45^o$

Gọi giao điểm của $D'E'$ và đường phân giác trong của $\widehat{HAB}$ và $\widehat{HAC}$ lần lượt là $I',\, K'$

$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{HAI'}=\widehat{D'AI'}\\\widehat{HAK'}=\widehat{E'AK'}\end{cases}$

Xét $∆HAI'$ và $∆D'AI'$ có:

$\widehat{HAI'}=\widehat{D'AI'}\quad (cmt)$

$AH = AD' = R\quad$ (cách dựng)

$AI':$ cạnh chung

Do đó $∆HAI'=∆D'AI'\, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{AHI'}=\widehat{AD'I'}$

mà $\widehat{AD'I'}=\widehat{AD'E'}=45^o$

nên $\widehat{AHI'}=45^o$

$\Rightarrow \widehat{BHI'}=45^o$

$\Rightarrow HI'$ là phân giác của $\widehat{AHB}$

Ta lại có:

$AI'$ là phân giác của $\widehat{HAB}$

Do đó $I'$ là tâm đường tròn nội tiếp $∆HAB$

$\Rightarrow I'\equiv I$

Chứng minh tương tự, ta được: $K'\equiv K$

$\Rightarrow D'\equiv D;\, E'\equiv E$

$\Rightarrow ∆ADE$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow DE = AD\sqrt2 = AH\sqrt2$

$\Rightarrow AH =\dfrac{DE}{\sqrt2}$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow AM = MB = MC =\dfrac{BC}{2}$

Xét $∆HAM$ vuông tại $H$ luôn có:

$AH \leq AM$ (cạnh góc vuông $\leq$ cạnh huyền)

$\Leftrightarrow \dfrac{DE}{\sqrt2}\leq \dfrac{BC}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{DE}{BC}\leq \dfrac{\sqrt2}{2}$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow AH = AM \Leftrightarrow H\equiv M$

$\Leftrightarrow ∆ABC$ vuông cân tại $A$