Đáp án:

 Đường cao hình tam giác $ABC$ là:   

 $\dfrac{216 x 2}{36}$ = $12$ (cm)

Độ dài cạnh $MN$ bằng `1/3` cạch $BC$

Độ dài cạnh $MN$ là: 

   $36$ × `1/3` = $12$ (cm)

 Đường cao hình $MNIB$ bằng `2/3` đường cao hình $ABC$  

Đường cao hình $MNIB$ là:  

   $12$ × `2/3` = $8$ (cm)

Độ dài $BI$ là:

     $36$ × `2/3` = $24$ (cm)

Diện tích hình $MNIB$ là: 

$\dfrac{12 + 8 + 24}{2}$ = `144` (cm²)

Đáp án:

Chiều cao hình tam giác ABC là:

          $216\times2:36=12$ (mét).

Vì BI = $\dfrac23$ BC nên độ dài đoạn BI là:
          $36\times\dfrac23=24$ (mét).

Diện tích hình tam giác ABI là:

          $24\times12:2=144$ ($m^2$).

Diện tích hình tam giác ACI là:

          $216-144=72$ ($m^2$).

Vì NC = $\dfrac23$ AC nên diện tích hình tam giác NIC = $\dfrac23$ diện tích hình tam giác ACI.

Diện tích hình tam giác NIC là:

          $72\times\dfrac23=48$ ($m^2$).

Vì BM = $\dfrac23$ AB nên diện tích hình tam giác BMC = $\dfrac23$ diện tích hình tam giác ABC.

Diện tích hình tam giác BMC là:

          $216\times\dfrac23=144$ ($cm^2$).

Diện tích hình tam giác AMC là:

          $216-144=72$ ($m^2$).

Vì NC = $\dfrac23$ AC nên diện tích hình tam giác MNC = $\dfrac23$ diện tích hình tam giác AMC.

Diện tích hình tam giác MNC là:

          $72\times\dfrac23=48$ ($m^2$).

Diện tích hình tam giác AMN là:

          $72-48=24$ ($m^2$).

Diện tích hình thang MNIB là:

          $216-48-24=144$ ($m^2$).

b) Vì NC = $\dfrac23$ AC nên chiều cao hình thang MNIB = $\dfrac23$ chiều cao hình tam giác ABC $\Rightarrow$ chiều cao hình tam giác AMN = $\dfrac13$ chiều cao hình tam giác ABC.

Chiều cao hình tam giác AMN là:

          $12\times\dfrac13=4$ ($cm^2$).

Độ dài đoạn MN là:

          $24\times2:4=12$ (cm).

                     Đáp số: a) $144\,m^2$.

                                    b) 12cm.