Đáp án:

Bài 1:

Gọi số cần tìm là x (x nhỏ nhất)

Vì khi chia nó cho 2;3;4;5;6 đều dư 1 nên x-1 chia hết cho 2;3;4;5;6

=> x-1 là BC(2;3;4;5;6)

$\begin{array}{l}
4 = {2^2};6 = 2.3\\
 \Rightarrow BCNN\left( {2;3;4;5;6} \right) = {2^2}.3.5 = 60\\
 \Rightarrow x - 1 \in \left\{ {60;120;180;240;300;360;...} \right\}\\
 \Rightarrow x \in \left\{ {61;121;181;241;301;361;...} \right\}\\
Do:x \vdots 7\\
 \Rightarrow x = 301
\end{array}$

Vậy số cần tìm là 301

Bài 2:

Gọi năm đó là x 

Vì năm đó thuộc thế kỷ thứ X nên 899<x<1000

Vì năm đó chia 5 dư 3; chia 47 dư 45

=> x +2 chia hết cho 5 và 47

=> x+2 là BC(5;47)

$\begin{array}{l}
BCNN\left( {5;47} \right) = 5.47 = 235\\
 \Rightarrow x + 2 \in \left\{ {235;470;705;940;1175;...} \right\}\\
 \Rightarrow x \in \left\{ {233;468;703;938;1173;...} \right\}\\
Do:x \vdots 2\\
 \Rightarrow x = 938
\end{array}$

Vậy năm đó là năm 938.