a) Đặt `n = 3k + r (r = 0; 1; 2; k ∈ Z)`

Ta có: `n^2 = (3k + r)^2 = (3k + r) (3k + r)`

                  `= 3k(3k + r) + r(3k + r) = 9k^2 +3kr + 3kr + r^2`

`r^2 = 0; 1; 4 và (9k^2 + 3kr + 3kr)  ⋮ 3

Do đó `n^2` chi cho 3 dư 0 hoặc 1

b) `2009` chia cho `3` dư `2` vì có tổng các chữ số là `11.`

Theo câu `a)` số chính phương chi cho `3` dư `0` hoặc `1.`

Do đó không có số chính phương nào mà có tổng các chữ số của nó bằng `2009.`

c) `x ⋮ 3; x^2 + y^2 ⋮ 3 => y ⋮ 3`

`y ⋮ 3; x^2 + y^2 ⋮ 3 => x ⋮ 3`

`x ⋮̸ 3; x^2 + y^2 => y ⋮̸ 3.` Áp dụng câu a)

`x^2 + y^2` chia hết cho 3.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

`a)`

+) Nếu `n ⋮ 3` thì `n^2 ⋮ 3` ( dư 0 )

+) Nếu n chia 3 dư 1 thì

`n = 3k + 1` 

`⇒ n^2 = (3k + 1)^2 = 9k + 1 : 3` dư `1`
+) Nếu n chia 3 dư 2 thì :

`n = 3k + 2`

`⇒ n^2 = (3k + 2)^2 = 9k + 4 : 3` dư `1`
Vậy `n ∈ Z` thì `n^2` chia `3` dư `0` hoặc dư `1`

`b)`

Vì `2009` chia `3` dư `2`

`⇒ Số đó chia 3 dư 2

`⇒` Không là số chính phương

Vậy không tồn tại số chính phương nào mà tổng các chữ số nào đó là `2009`.

`c)`

Ta có công thức :

`a ⋮ c`

`⇒ a.k ⋮ c` ( k có thể là 1 số bất kì, cũng có thể là a )

Mà `x^2 ⋮ 3`

`⇒ x . x ⋮ 3`

`y^2 ⋮ 3`

`⇒ y . y ⋮ 3`

`⇒ x ⋮ 3 và y ⋮ 3` ( đpcm )