Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AC$ là đường kính của $(O)\to AH\perp HC\to AH\perp BC$

Mà $AB\perp AC\to AB\perp OA$

$\to AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

b.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC$

$\to CA^2=CH.CB$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có: $AB\perp AC\to AC\perp AD\to\Delta ACD$ vuông tại $A$
Mà $AC$ là đường kính của $(O)\to AK\perp CK\to AK\perp CD$

$\to CK.CD=CA^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to CK.CD=CH.CB=CA^2$

c.Ta có $DM\perp BC, CA\perp BD, DM\cap CA=O$

$\to O$ là trực tâm $\Delta BCD$

$\to BO\perp CD\to ON\perp CD$

Lại có $OM\perp BC$

$\to ONCM$ nội tiếp

$\to \widehat{MNC}=\widehat{MOC}=\widehat{HAC}(OM//AH)=\widehat{HKC}$

$\to HK//MN$ 

d.Ta có: $\widehat{BAO}=\widehat{DAC}=90^o$

             $\widehat{BAC}=\widehat{BNC}=90^o\to BANC$ nội tiếp

$\to \widehat{ABO}=\widehat{OCN}=\widehat{ACD}$

$\to\Delta ABO\sim\Delta ACD(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BO}{CD}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ vì $\dfrac{CD}{BO}=\sqrt{3}$

$\to \cot\widehat{ABC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\to \widehat{ABC}=60^o$