Đáp án:

↓↓

Giải thích các bước giải:

$a)$ Chứng minh: $DG$ $=$ $GH$ $=$ $HB$

 Ta có: $E$ là trung điểm của cạnh $AB$

           $F$ là trung điểm của cạnh $DC$

Mà hình bình hành $ABCD$ có: $AB // DC$

$⇒$ $AF // EC$

Xét trong $CAGB$ có: 

$ΔAGB$$\left \{ {{AF//EC (AG//EH)} \atop {AE=EB }} \right.$ $⇒$ $EH$ là đường trung bình của $ΔAGB$

$ΔAGB$ có: $EH$ là đường trung bình của $⇒ BH = GH$ $(1)$

Xét trong $ΔDHC$ có:

$ΔDHC$$\left \{{{DF=FC} \atop {AF//EC (GF//HC)}} \right.$ $⇒ GF$ là đường trung bình của $ΔDHC$

$ΔDHC$ có:  $GF$ là đường trung bình của $ΔDHC$ $⇒DG = GH$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra: $DG = GH = HB$ $(đfcm)$

$b)$ C/m: AC, FE, GH đồng quy

Xét $ΔACI$ và $ΔFCI$ có: 

$AE = FC$

Ta có: $AE // FC$ $⇒$ $\widehat{AEI}$ $=$ $\widehat{CFI}$ $($ so le trong $)$
$\widehat{AIE}$ $=$ $\widehat{FIC}$ $(đđ)$

$⇒ ΔACI = ΔFCI$ $( g.c.g )$

$⇒ FI = IE $ ( 2 cạnh tương ứng )

Xét $ΔGFI$ và $ΔEHI$ có:

$FI = IE $ ( cmt )

$\widehat{EIH}$ $=$ $\widehat{GIF}$ $( đđ )$

Ta có: $ AE // FC $$⇒$ $\widehat{IEH}$ $=$ $\widehat{IFG}$ $($ so le trong )

$⇒ ΔGFI = ΔEHI$ $( g.c.g )$

Xét $ΔGFI$ và $ΔHEI$ có:

$FI = IE $ ( cmt )

$\widehat{EIH}$ $=$ $\widehat{GIF}$ $( đđ )$

Ta có: $ AE // FC $$⇒$ $\widehat{IEH}$ $=$ $\widehat{IFG}$ $($ so le trong )

$⇒ ΔGFI = ΔHEI$ $( g.c.g )$

$⇒ GI = IH$ ( 2 cạnh tương ứng )

Ta có: $FE$ cắt $AC$ tại $I$

       $GH$ cắt $EF$ tại $I$

$⇒ AC, FE, GH$ đồng quy.